第2章1-随机过程与随机序列.ppt

* * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有 若对于任意时刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 当X(t)和Y(t)互相独立时，满足 则有 当X(t)和Y(t)互相独立时， X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 研究随机过程有两条途经： 侧重于研究概率结构 侧重于统计平均性质的研究 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 例2.1.2： 设随机过程 ， 是均值为5，方差为6的随机变量，求 的均值、方差、相关函数和谐方差函数。 例2.1.3： 求随机过程 的数学期望，方差及自相关函数。其中，a、w0为常数， 是在区间 上均匀分布的随机变量。 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 2.1.4 随机过程的特征函数 对于某一固定时刻t，随机变量X(t)的特征函数就定义为随机过程的一维特征函数 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 随机过程的二维特征函数： 随机过程在任意两个时刻t1和t2的取值构成一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},它的特征函数 定义为随机过程X(t)的二维特征函数 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 随机过程的特征函数与矩函数之间的关系为： * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 相关函数与二维特征函数之间的关系为： * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 2.1.5 随机过程的微分与积分 (一) 随机收敛和随机连续性 设有随机变量X及随机变量序列 {Xn} (n=1,2,…)，均有二阶矩，且 则称随机变量序列{Xn} 依均方收敛于X，或者说，随机变量X是随机变量序列{Xn} 在n趋于无穷时的均方极限。 表示成： * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 如果随机变量序列{Xn}满足 那么该序列k阶收敛于X。 若随机过程X(t)满足 则X(t)在t时刻均方意义下连续。 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 从随机过程X(t)的均方连续性，可推得，X(t)的数学期望必然是连续的，即 若R(t1,t2)沿直线t1=t2处处连续，则随机过程X(t)处处均方连续。 极限和数学期望可以交换次序 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 (二) 随机过程的微分 （1）定义 如果随机过程X’(t)满足 则称X(t)在t时刻具有均方导数X’(t)。 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 判断随机过程的导数存在与否，可采用柯西判别准则，即如果 则X(t)的导数存在。 (2)均方可微的条件（导数存在的条件） * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 可推导出，随机过程X(t)均方可微的充分条件是：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶偏导数，即存在 充分条件 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 只有当随机过程连续，即相关函数R(t1,t2)在t1=t2时连续，且有 存在，则随机过程在均方意义下存在导数。 必要条件 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 (3) 随机过程导数运算的法则 设用Y(t)表示随机过程X(t)的均方导数，即 Y(t)的相关函数 Y(t)的数学期望 均方导数和数学期望可以交换次序 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 （三） 随机过程的积分 （1） 随机过程的积分 当把积分区间[a,b]分成n个小区间 ，当 时，令 Y就定义为X(t)在均方意义下的积分。 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 当随机过程通过线性时不变系统时，其输出应为输入与系统冲激响应的卷积，即 * * 陈友兴：随机信号分析—随机过程 （2）随机过程均方积分的运算法则 设Y为随机过程的均方积分，即 Y的方差 Y的均值 * * 随机过程积分的相关函数 随机过程的变上限积分 均方积分和数学期望可以交换次序 陈友兴 随机信号分析 * 陈友兴：随机信号