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苏教版 七年级数学《有理数》
1.1正数和负数
负数:以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数。
正数:以前学过的0以外的数叫做正数。
0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。
在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义
注:-a不一定是负数,+a也不一定是正数;
1.2.1有理数:
凡能写成 形式的数,都是有理数。
(1)正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.
(2)有理数的分类:① ②
注意:
0不是正数,也不是负数;
?不是有理数;无限不循环小数不是有理数。无限循环小数是有理数;
小数也归为分数。
自然数? 0和正整数;
a>0 ? a是正数;a<0 ? a是负数;
a≥0 ? a是正数或0 ? a是非负数;
a≤ 0 ? a是负数或0 ? a是非正数.
1.2.2数轴:
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项:⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可。
⑵同一根数轴,单位长度不能改变。
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a 的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3.相反数:
只有符号不同的两个数叫做相反数。
注意:(1)一般地,a和-a互为相反数,特别地,0的相反数还是0;
(2) a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.
一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这两点关于原点对称
1.2.4.绝对值:
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
(1)一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
注:绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。
(2) 绝对值可表示为:或 ;
(3)绝对值的问题经常分类讨论;
; ;
(4) |a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|, .
(5)有理数比大小:
①正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数和0。
②两个负数,绝对值大的反而小。
③正数的绝对值越大,这个数越大;
④大数-小数 > 0,小数-大数 < 0;
⑤在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,所以左边的数永远小于右边的数。即数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大
补充:
倒数:乘积为1的两个数互为倒数;
注(1)0没有倒数;若 a≠0,那么的倒数是;
(2)倒数是本身的数是±1;
(3)若ab=1? a、b互为倒数;若ab=-1? a、b互为负倒数.
1.3.1 有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不相等的饿异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用 较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。a+b=b+a
(2)加法的结合律:三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
(a+b)+c=a+(b+c).
补充:去括号法则:
(1)括号前是“+”,把括号和括号前的“+”去掉,括号里各项都不改 变符号。
(2)括号前是“-”,把括号和括号前的“-”去掉,括号里各项都改变 符号。
(3)括号外的因数是正数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
1.3.2有理数减法法则:(有理数的减法可以转化为加法来进行)
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
1.4.1有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。
(4)乘积是1的两个数互为倒数。
有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等。ab=ba
(2)乘法的结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
(ab)c=a(bc)
(3)乘法的分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。 a(b+c)=ab+ac
1.4.2有理数
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