10结构动力计算.ppt

（2）主振型矩阵 它的转置 主振型的正交性 广义质量矩阵是 对角矩阵。 同样广义刚度矩阵 是对角矩阵。 主振型矩阵的性质：当[M]、[K]为非对角矩阵时，如果前乘以 [Y]T、后乘以[Y]，这可以使它们转换为对角矩阵[M*]、[K*]。利用 主振型的这一性质，可将多自由度体系的振动方程变为简单形式。 （3） 振型分解法 .. .. .. .. .. .. .. 进行正则坐标变换， 使方程组解耦。 .. .. .. .. ω2 * 2)当m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=－k2 求频率： 求振型： 如n=90时 当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。 （鞭梢效应） 第一振型： 第二振型： 特征方程： + + + y1 yi yn ri 动平衡方程： ri y1 yi yn ri 应满足刚度方程 kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。 .. .. .. .. .. 或： 设解为： {y}={Y}sin(ωt+α) 得振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 得频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 可求出ｎ个频率 与ωｉ相应的主振型向量由 ( [K]－ω2ｉ [M] ){Y（ｉ）}=｛0｝ 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 　　标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。 .. .. .. .. .. .. 例： 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。 k11=4k/3 解：1）求刚度系数： m 2m m k k21=-k/3 k31=0 k12=-k/3 k22=8k/15 k32=-k/5 1 k13=0 k23=-k/5 k33=k/5 刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]： 1 1 展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0 解得：η1=1.293， η2=6.680， η3=13.027 2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1） （a） 1 0.569 0.163 1 1.227 0.924 1 3.342 2.76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。 利用刚度法的方程间接导出柔度法方程： 由刚度法振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}=｛0｝ 令λ=1/ω2 ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}=｛0｝ 得频率方程： ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0 其展开式: 是关于λ的n次代 数方程,先求出λi 再求出频率ωi 将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}=｛0｝ 可求出n个主振型. 可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。 例： 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。δ=1/k δ11=δ 解：1）求柔度系数： m 2m m k 柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]： P=1 δ21 δ31 P=1 δ32=4δ δ22=4δ P=1 δ13=δ δ23=4δ δ33=9δ δ12=δ 展开得: 解之: ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151 三个频率为： 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式： 2）求频率： 解得： 同理可得第二、 第三振型 m1 m2 Y11 Y21 m1 m2 Y12 Y22 主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。 对这两种静力平衡状态 应用功的互等定理： 因为：ω1≠ω2 主振型之间的 第一正交关系 一般说来，设ωi≠ωj 相应的振型分别为：{y（i）}， {y（j）} 由振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 得： [K] {Y}=ω2 [M] {Y} [K] {Y（i）}=ω2 [M] {Y（i）} {Y（j）}T[K] {Y（i）}=ω2i {Y（j）}T [M] {Y（i