2014浙江省高等数学竞赛试题(含答案).doc

第 PAGE 3 页 共 NUMPAGES 6 页 工科类参考答案 一计算题：（每小题1４分，满分７0分） 1．求极限。 解： 且 2．求不定分。 解： 所以 由积分的连续性 3．设。 解：记 则 记 所以 工科类参考答案 4．求极限。 解：由中值定理 5．求过直线L: 且与球面相切的平面的方程。 解：设平面为 则点到的矩离为1 即 所以平面的方程为 或 工科类参考答案 二、（满分20分）设 （1）证明有唯一正根，记之为； （2）计算 解：（1） 单调减 无根 单调增 且 所以有唯一正根 （2）易知 记 而 且 所以 所以 五、（满分20分）如图 动点P在曲线上， ，A点坐标(1，1)，Q点坐标(0，1)。 （1）假设曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。 （2）如果曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。 工科类参考答案 解：（1）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同 即 因为 （2）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同 即 因为 （3） 即 即 其中 所以 即有 其中 任意 所以不能确定。 工科类参考答案 三、（满分20分） 求由平面和曲面围成的立体体积。 解：解法一 时 两曲面交立体底面边缘为轴和 且用平行于平面的平面截此立体所得截面为三角形，三个顶点为 ，及 所得截面为等边三角形，其面积为 解法二 两曲面的交线 所以向平面的投影柱面为 = 四、（满分20）讨论级数的收敛性。 解： 解法一 , 由狄利克雷判别法得级数收敛。 解法二 级数的前N项部分和收敛 所以级数收敛 2014竞赛试题 数学类 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1．求极限。 解： 且 2．求不定分。 解： 所以 由积分的连续性 3．设。 解：记 则 记 所以 4．求极限。 解：由中值定理 5．已知为同一平面上的三个单位向量，且，求的最小值。 解：由题设 有 不妨设 同理 所以的可能取值范围为 求的最小值即为求到的距离平方，即到的距离平方。 即 实际上 取 取到最小值 二、（满分20）设 （1）证明有唯一正根，记之为； （2）计算。 解：（1） 单调减 无根 单调增 且 所以有唯一正根 （2）易知 记 而 且 所以 所以 三、（满分20分）具有求导公式 其中具有一阶连续偏导。请由此计算 。 解： （） 且 所以为常数 即 四、（满分20分）如图 动点P在曲线上， ，A点坐标(1，1)，Q点坐标(0，1)。 （1）假设曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。 （2）如果曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。 解：（1）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同 即 因为 （2）曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同 即 因为 （3） 即 即 其中 所以 即有 其中 任意 所以不能确定。 五、（满分20分）在上连续有界，证明： 使得。 证明： （不妨设） 记 若 当时 不变号（不妨设） 记 那么 而 即单调增且有界 所以有极限 另一种情况 变号有零点（连续） 即 所以 经管类 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1．求极限。 解： 且 2．求不定分。 解： 所以 由积分的连续性 3．设。 解：记 则 记 所以 经管类 4．已知为同一平面上的三个单位向量，且，求的最小值。 解：由题设 有 不妨设 同理 所以的可能取值范围为 的最小值即为到的距离平方，即到的距离平方。 即 实际上 取 取到最小值 5．求过直线L: 且与球面相切的平面的方程。 解：设平面为 则点到的矩离为1 即 所以平面的方程为 或 经管类 二、（满分20分）设 （1）证明有唯一正根，记之为； （2）计算。 解：（1） 单调减 无根 单调增 且 所以有唯一正根 （2）易知 记 而 且 所以 所以 四、（满分20分） 如图 动点P在曲线上， ，A点坐标(1，1)，Q点坐标(0，1)。 假设曲边三角形与曲边梯形的面积相同，求曲线的表达式。 解：曲边梯形的面积 曲边三角形的面积与相同 即 因为 经管类 三、（满分20分） 求级数的和。 解： 而 所以 五、（满分20分） 含参变量积分函数具有如下求导公式