第一章-1--随机信号分析基础.ppt

“对平稳随机信号，功率谱密度函数与自相关函数是一对傅里叶变换。”———— Wiener(美)-Khinchine(俄) 定理 例：已知平稳随机信号X(n)的自相关函数： RX(m)=a|m|，|a|1，试求其功率谱。 例：给定平稳过程的功率谱密度，求其相关函数与平均功率。 1.5.3、平稳随机信号的相关函数与功率谱的性质 对实平稳随机信号，易证以下性质成立： 1. R(τ)、s(ω) 均为实偶函数 2. s(ω) 非负、R(0)≥|R(τ)| 3.周期平稳过程的自相关函数也是周期函数，其周期与过程的周期相同 R(τ+T) = E{X(t)X(t+τ+T)} = E{X(t)X(t+τ)} = R(τ) 4.对不含周期分量的非周期平稳过程，满足： 1.6 白噪声信号与谐波信号 1.6.1 线性时不变系统的时频关系 1.6.2 白噪声信号 1.6.3 谐波过程 1.6.1 线性时不变系统的时频关系 1.6.2 白噪声信号 ω t 0 0 σ RW(τ) SW(ω) 一般称“平谱” 高斯白噪声及其数据值分布直方图： 均匀白噪声及其数据值分布直方图： 分析例题 1.6.3 谐波过程 谐波过程 ω 0 S(ω) 一般称“线谱” 习题 1.2.4 随机信号的导数与积分 随机信号数字特征的微积分 1.3 平稳随机信号 1.3.1 平稳随机过程的概念 1.3.2 严平稳过程（狭义平稳、强平稳） 1.3.3 宽平稳过程（广义平稳、弱平稳） 1.3.4 平稳随机过程的各态历经（遍历）性 1.3.5 高斯(正态)过程 1.3.1 平稳随机过程的概念 平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。 * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起 了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。 * 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下 被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。 实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ 1.3.2 严平稳过程（狭义平稳、强平稳） 如果对于任意的 n ，都有 t1,t2, … tn∈T , 和任意实数τ∈T ， 使得 n 维随机变量： 具有相同的分布函数，则称随机过程 {X(t), τ∈T } 是严平稳（狭义平稳）随机过程。 从分布函数描述： 从数字特征描述： 对所有整数1≤k≤n和所有t1、t2、…tk及τ，其k阶矩有界； 2. 其k阶矩与时间起点无关：mx(t1、…tk) = mx(t1+τ,…tk+τ) 则该随机过程是平稳的（严平稳）。 由于严平稳过程的均值、方差都是与时间无关的常数。因此样本曲线都在均值的水平线周围波动，其分散度由方差决定 1.3.3 宽平稳过程（广义平稳、弱平稳） 问题： “ 严平稳过程同时必是宽平稳的么？” “ 严平稳过程不一定是宽平稳的么？” 由上述第2、3项特征导致： 宽平稳随机过程的协方差函数也与时间起点无关： 宽平稳随机过程的统计特征 例：对随机相位信号讨论其平稳性 A、ω0为常数，Ф为(0,2π)上均匀分布的随机变量 例：对随机相位信号讨论其平稳性 A、ω0为常数，Ф为(0,π/2)上均匀分布的随机变量 1.3.4 平稳随机过程的各态历经（遍历）性 问题的提出： 以随机过程的数字特征作为统计分析手段虽然十分有效实用，但这 些数字特征本身如何获取？ 是否按照各阶矩的定义去计算？ 是否需要 通过分析观察大量的样本函数之后再求其“集平均”获取？ 对于各态历经随机过程，可用该过程的一个样本函数的时间平均计算 该随机过程的集合平均，各态历经性保证了两种平均以概率1相等。 各态历经随机过程的部分运算特性： 从一个特例看各态历经过程的一、二阶矩函数的物理意义 RX( ) RX(0) τ σ 2 mX 2 τ 例：判断下述随机过程是否各态历经 例：对随机相位信号讨论其是否各态历经 如何判定某随机过程是各态历经的？ 如何判定某随机过程是各态历经的？ 统计实验分析的理论基础是随机过程的各态历经性假设 实际处理问题时，常常先假定信号是平稳的、 再假定是各态历经的，做完统计分析工作后 再对结果检验这种假设的正确性并加以修正。 高斯(正态)过程 随机向量(N维随机变量) 高斯(正态)过程 例： 高斯过程的一些重要特性 高斯过程是二阶矩过程； 由一阶矩和二阶矩即可确定其任意有限维分布； 对于高斯过程，若是宽平稳的则必然也是严平稳的； 对于高斯过程，若两个时刻信号值不相