第3章-线性控制系统的动态分析.ppt

由解的唯一性可得： 例3.4.1 考虑离散时间系统： 其中： 试求 时系统的状态解。 解法1（递推法） 由此递推下去，可得到状态的离散时间的解。 . . . 解法2：（Z变换法） 用Z变换法，先计算 则有： 则有： 因 所以 Z反变换得： 3.5 MATLAB在线性系统动态分析中的应用 3.5.1应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵指数(状态转移矩阵) 3.5.2应用MATLAB 求定常系统时间响应 3.5.3应用MATLAB 变连续状态空间模型为离散状态空间模型  3.5.1应用MATLAB计算矩阵指数 1. 应用MATLAB 符号数学工具箱求矩阵指数闭合解析式 基于矩阵指数的拉普拉斯变换求解法，可调用MATLAB 符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）中的符号运算函数先算出“预解矩阵” ， 再对“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得 。 另外，MATLAB 符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指令expm（）可调用。 【例 1 】 已知 ,应用MATLAB求 %MATLAB Program 2_1a syms s t %定义基本符号变量s 和t A=[4,0,0;0,3,1;0,1,3]; FS=inv(s*eye(3)-A); %求预解矩阵 eAt=ilaplace(FS,s,t); %求 eAt=simplify(eAt) %化简 的表达式 解 MATLAB Program 2_1a给出了基于拉普拉斯变换求 的MATLAB 程序。 2.应用数值矩阵的指数运算函数expm（）求 对应于 （ 为某一常数）的值 MATLAB Program 2_2给出了调用expm（）求例 中矩阵A的矩阵指数 对应于 的值 的MATLAB 程序。 %MATLAB Program 2_2 A=[4,0,0;0,3,1;0,1,3]; T=0.1; eAT=expm(A*T) 3.应用MATLAB 符号数学工具箱求离散系统状态转移矩阵解析式 【例 2 】 已知离散系统状态方程为 应用MATLAB求其状态转移矩阵 的解析式 解 上例中已采用四种方法求出了系统的 ， MATLAB Program 2_3给出了基于Z变换求 的MATLAB 程序。 %MATLAB Program 2_3 syms z k %定义基本符号变量z和k G=[0,1;-0.2,-0.9]; Fz=(inv(z*eye(2)-G))*z; %求 Fk=iztrans(Fz,z,k) %调用Z反变换指令求 Fk=simple(Fk) %将符号运算结果表达式转换为最简形式 与例前例求解结果一致，MATLAB Program 2_3 程序运行结果如下： Fk = [ 5*(-2/5)^k-4*(-1/2)^k, 10*(-2/5)^k-10*(-1/2)^k] [ -2*(-2/5)^k+2*(-1/2)^k, -4*(-2/5)^k+5*(-1/2)^k] 3.5.2 应用MATLAB 求定常系统时间响应 1.状态方程的数值解 常微分方程数值解一般使用逐步积分的方法实现，Runge–Kutta法是应用最多的一种微分方程数值解法。MATLAB提供的ode23（）、ode45（）是分别采用2/3阶、4/5阶Runge–Kutta法的常微分方程数值求解的函数，一般ode45（）较ode23（）运算速度快，两者调用格式相同，即 其中,xfun为由m函数定义的一阶微分方程组的m函数名，该m函数必须以状态向量x的一阶导数为输出。若原方程为高阶微分方程，应通过第1章的“实现”方法将其转换为一阶微分方程组，即状态空间表达式； t0和tf分别为积分的起始和终止时间，单位为秒；x0为状态向量的初始值；t和x均为返回值，其中t为离散时间列向量；x为解向量构成的矩阵，其第j列为第j个状态变量与t相对应的解向量，j=1,2,…n。 【例3】已知系统状态空间表达式为 设x(0)=0，试求u(t)=1(t)为单位阶跃函数时系统时间响应的数值解。 解 MATLAB Program 2_4a建立了描述系统状态方程的m函数ode_exam