北京高三模拟考试圆锥曲线解析(选修2-1).docVIP

PAGE 14 - 十二、圆锥曲线 10（2012年海淀一模理10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 答案：。 7．（2012年门头沟一模理7）已知点在抛物线上，则点到直线 的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ C ） A. B. C. D. 13．（2012年东城一模理13）抛物线的准线方程为 ；此抛物线的焦点是，则经 过和点，且与准线相切的圆共有 个． 答案：；。 9．（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是______． 答案：. 13．（2012年密云一模理13）若双曲线的两个焦点为，P为 双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是________． 答案：1e≤2. 9.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 . 答案：； 13.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是_______. 答案：。 19.（2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为. 因为，， 所以. 所以 . 所以 椭圆的标准方程为. （Ⅱ）设，，，. （ⅰ）证明：由消去得：. 则， 所以 . 同理 . 因为 , 所以 . 因为 ， 所以 . （ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 . 因为 ， 所以 . 所以 . （或） 所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. 19.（2012年西城一模理19）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由 ， 得 . 依题意△是等腰直角三角形，从而，故. 所以椭圆的方程是. （Ⅱ）设，，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立， 消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线，的倾斜角互补， 所以. 设，则有 . 将 ，代入上式， 整理得 ， 所以 . 将 ，代入上式， 整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分. 19．（2012年东城一模理19）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为，离心率是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)． 解：（Ⅰ）由已知 解得，． 故所求椭圆方程为． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设椭圆右焦点． 设，则． 于是直线方程为 ，令，得； 所以，同理． 所以，. 所以 ． 所以 ，点在以为直径的圆上． 设的中点为，则． 又， 所以 ． 所以 ． 因为是以为直径的圆的半径，为圆心，， 故以为直径的圆与直线相切于右焦点． 19. （2012年丰台一模理19）已知椭圆C：的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且．求证：直线过定点． 解：（Ⅰ）依题意，，所以． …2分 因为， 所以．…3分 椭圆方程为． …5分 （Ⅱ） 消y得 ，． …6分 因为，， 所以 ，． …7分 设直线MA：，则；同理…9分 因为 ， 所以 ， 即．…10分 所以 ， 所以 ， ， ， 所以