2016离散型随机变量地期望与方差2.doc

实用标准文案 精彩文档 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 二项分布 1.举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X求的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大? 【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”, , 这两人的累计得分的概率为. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 由已知:, , , 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 2. 假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X. (1)求X的分布列； (2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望． 解　(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)， ∴P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(3,8)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)， P(X＝4)＝Ceq \o\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16)， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,16) eq \f(1,4) eq \f(3,8) eq \f(1,4) eq \f(1,16) (2)Y的所有可能取值为3,4，则 P(Y＝3)＝P(X＝3)＝eq \f(1,4)， P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝eq \f(3,4)， ∴Y的期望值E(Y)＝3×eq \f(1,4)＋4×eq \f(3,4)＝eq \f(15,4). 3.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差. （Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 . . . （Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 4. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. (i)利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求. 附：≈12.2. 若～，则=0.6826，=0.9544. 【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 （Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知～，从而