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第二章 泛函极值及变分法 (补充内容)
2.1 变分的基本概念
2.1.1 泛函和变分
泛函是一种广义的函数,是指对于某一类函数{y (x)} 中的每一个函数y (x) ,变量J 有一
值与之对应,或者说数J 对应于函数y (x) 的关系成立,则我们称变量J 是函数y (x) 的泛函,
记为J [y (x)] 。
例1:如果表示两固定端点A (x y ) ,B(x y ) 间的曲线长度J (图2.1.1 ),则由微积分相关
A, A B, B
知识容易得到:
xB 2
J x A 1 (dy / dx) dx (2.1.1)
显然,对于不同的曲线y (x) ,对应于不同的长度J ,即J 是函数y (x) 的函数,J=J [y (x)] 。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度
例2:历史上著名的变分问题之一——最速降线问题,如果2.1.2 所示。设在不同铅垂线上
的两点P 与P 连接成某一曲线,质点P 在重力作用下沿曲线由点P 自由滑落到点P ,这
1 2 1 2
里不考虑摩擦作用影响,希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题
选取一个表示曲线的函数y (x) ,设质点从P 1 到P2 沿曲线y =y (x)运动,则其运动速度为:
ds 1y 2
v dx
dt dt
其中,S 表示曲线的弧长,t 表示时间,于是:
1y 2
dt dx
v
1
设重力加速度为g,则v 2gy 。
因为P 和P 点的横坐标分别为x 到x ,那么质点从P 到P 所用时间便为:
1 2 1 2 1 2
2
x
2 1 y
J[ y(x)] x dx
1 2g[ y(x ) y(x)
1
1/ 2
2
x
2 1 [y (x )]
x dx (2.1.2)
1 2g[y(x ) y(x)]
1
则最速降线问题对应于泛函J [y (x)]取最小值。
回顾函数的微分:
对于函数的微分有两种定义:
一种是通常的定义,即函数的增量:
y y (x x) y (x) A(x)x (x,x) (2.1.3)
其中A (x )与 x 无关,且有 x →0 时ρ (x , x )→0,于是就称函数y (
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