结构动力学作业答案(roy r.craig)..doc

PAGE －PAGE 14－ P2.3 解答 2.3 如图所示，刚性梁AB受到弹簧BC的激励。C点的运动方程为z(t)。试用B点的位移u为变量来推导系统的运动方程。假设为小运动，采用牛顿定律来求解。 解： 画自由体受力图 列力矩平衡方程 根据受力分析，可知： 力与位移关系 弹簧力； 阻尼力； 弹簧力 惯性力矩 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简： P2.13 解答 2.13 一根均匀的杆的质量密度为，其杆端有一集中质量M。应用假定振型法（）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。 解： 形函数及几何边界条件 建立虚功方程 因为没有外力，所以 对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功和杆端集中质量的虚功。 化简 因为为虚位移，即，所以运动方程为 P3.7 解答 3.7 一台机器的质量为70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m，总阻尼为1.2kN.s/m。试求如下初始条件的运动u(t)。 解： 运动方程及其相关参数 由图可知，其运动方程为 其中，，。所以 系统的自由振动解 不同初始条件下的自由运动 （a） （b） P4.8 解答 4.8 转动机械中的不平衡是很普遍的激励源。下图正是这样一个例子。（M－m）是机械的质量，m是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为。 推导机械垂向运动方程； 推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线。 解： 向心力及其垂向分量 向心力的大小，垂向分量为。 系统的运动方程 化简后可得： 系统的稳态响应 现在考虑其频率响应幅值 定义静位移为，因此， P5.1 解答 5.1 用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。如图所示，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。当弹簧触到地面时，质量m具有一垂直下降速度V。接触时t=0，并令u(0)＝0。 (a)确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置u（t）的表达式； (b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。 解： 1. 受力分析 根据初始条件：，及上图可知，物体的受力图如右所示。 2. 运动微分方程 所以，根据受力图，其运动微分方程为： 3. 垂向位置的解 根据初始条件，可得 所以，。 4. 弹簧回弹脱离地面的时间 当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为：。因此，可以任意选取一个运动量来求解脱离时间。这里，我们取速度量，则有 P9.2 解答 9.2 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一均匀弹性梁AB上，设侧向位移很小。应用恰当的自由体图，确定A与B点的边界条件。 解： 1. A点的边界条件为固支，即 2. B点的边界条件 刚体的受力图如上所示。 对于端部剪力边界条件， （注：为刚杆BC的质心加速度） 对于端部弯距边界条件， 其中 P10.4 解答 解： 1． 特征方程 现拟采用如下通解形式 两端边界条件为自由端，所以 将边界条件代入通解表达式，可得 如果上面方程有非零解，则其系数行列式为零。化简后得特征方程： SHAPE \* MERGEFORMAT 由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为： 2. 现确定零频率的个数。 当时，根据自由运动微分方程（10.12），可得：。因此，我们可以假定解的形式为。考虑边界条件，可知。因此，零频率的振型为。考察得到的振型函数可知，只可能存在2个相互正交的组合。相对应的，存在两个零频率。 3. 求零频率的刚体模态（利用正交性）。 设，，则有： 由于L具有任意性，所以。因此可以设。因此，上式变为： 所以，两个刚体模态为：，。可进一步，采用正规化方法，求解、。通过计算得到： ， 所以，正规化的刚体模态为 ， 4. 非零频率 对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解。结果是：，。 5. 振型 通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（） P11.26 解答 11.26 运用假定振型法求解悬臂梁的2－DOF模型。其中，自由端的变形和转角被定义为模型的广义坐标。相应的振型函数如下图所示。 解： （a）推导基于如下一般多项式的形函数和。 （b）推导此2－DOF模型的运动微分方程。 解：（a）由图可知，对于而言，有： 所以， 对于而言，有： 所以， （b）1．首先求形函数的二阶导数。 2．推导刚度和质量矩阵系数和。 同样的，对于有： 3．装配运动微分方程（因为没有外力，所以广义力为零） P12.8 解答 P12.8一均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一2-DOF模型： （a）推导该2-DOF模型的运动微分方程； （b）计算固有频率。并和精确解（例10.3）以及基频近似值（10.4）比较。 解： （a）参考第11章例11.10的步骤建立运动微分方程 因此， 装配系统的运动方程（注意，这里没有外力，所以广义力为零。） （b）参考第12章例12.3的步骤解方程，得