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实验 5:线性代数方程组的数值解法
习题3:
已知方程组,其中,定义为:
试通过迭代法求解此方程组,认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。实验要求:
选取不同的初始向量x0和不同的方程组右端向量b,给定迭代误差要求,用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算,观测得到的迭代向量序列是否均收敛?若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出结论;
取定右端向量b和初始向量x0,将A的主对角线元素成倍的增长若干次,非主对角元素不变,每次用雅可比迭代法计算,要求迭代误差满足,比较收敛速度,分析现象并得出结论。
程序设计(可直接粘贴运行)
Jacobi迭代法
function y=jacobi(a,b,x0,e,m)
%定义jacobi函数,其中:a,b为线性方程组中的矩阵和右端向量;x0为初始值;
%e和m分别为人为设定的精度和预计迭代次数;运行结果y为迭代的结果和所有中间值组成的
%矩阵
y=0; %对y初始化
d=diag(diag(a)); %按雅可比迭代标准形形式取主对角元素作为矩阵D
u=-triu(a,1); %取上三角矩阵u
l=-tril(a,-1); %取下三角矩阵l
bj=d^-1*(l+u);
fj=d^-1*b;
x=[x0,zeros(20,m-1)]; %初始化x,其中x1=x0,即初始值
for k=1:m %人为规定迭代次数,防止不收敛迭代导致死循环
x(:,k+1)=bj*x(:,k)+fj; %jacobi迭代
if norm(x(:,k+1)-x(:,k),inf)e
%判断迭代后是否满足迭代中止条件:
y=x(:,1:k+1); %赋给y所有中间值和迭代结果
sizej=k ; %若去掉;号,则输出迭代次数
break %并结束迭代
end %若不成立,继续迭代
end
%以下部分为验证迭代公式收敛的方法,仅需运行一次即可,因为收敛性完全由A矩阵决定,而A
%在本题是固定不变的;通过判断中B的谱半径或范数大小(B在jacobi迭代法中%为矩阵bj),即可得知收敛性:
e=eig(bj)
%输出全部特征值,若,则收敛
n1=norm(bj,1); %计算1-范数
n2=norm(bj); %计算2-范数
nn=norm(bj,inf); %计算-范数
q=min([n1 n2 nn])
%由于谱半径不超过人以一种范数,所以只要范数的最小值q1,也可判断迭代法收敛
Gauss迭代法:与Jacobi程序结构相同,不再注释
function y=gauss(a,b,x0,e,m)
y=0;
d=diag(diag(a));
u=-triu(a,1);
l=-tril(a,-1);
x=[x0,zeros(20,m-1)];
bgs=(d-l)^-1*u;
fgs=(d-l)^-1*b;
for k=1:m
x(:,k+1)=bgs*x(:,k)+fgs;
if norm(x(:,k+1)-x(:,k),inf)e
y=x(:,1:k+1);
sizeg=k;
break
end
end
e=eig(bgs)
n1=norm(bgs,1);
n2=norm(bgs);
nn=norm(bgs,inf);
min([n1 n2 nn])
操作函数:
%构造矩阵A
n=20;
a1=sparse(1:n,1:n,3,n,n); %按稀疏矩阵的输入法构造,比较方便
a2=sparse(1:n-1,2:n,-0.5,n,n);
a3=sparse(1:n-2,3:n,-0.25,n,n);
a=a1+a2+a3+a2+a3;
a=full(a); %还原为满矩阵
%通过给定不同的初始向量x0或者右端项b,以及规定不同的误差要求,进行jacobi和gauss
%迭代,得到的结果y1、y2位两种迭代的次数,同时输出迭代结果,便于分析
b=
x0=
e=
m=
y1=jacobi(a,b,x0,e,m);
y2=gauss(a,b,x0,e,m);
改变矩阵A:
先对jacobi函数作一定修正,方便分析,命名为jacobi2,如下:
function y=jacobi2(a,b,x0,e,m)
d=diag(diag(a));
u=-triu(a,1);
l=-tril(a,-1);
bj=d^-1*(l+u);
fj=d^-1*b;
x=[x0,zeros(20,m-1)];
n1=n
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