数值计算方法(宋岱才版)课后问题详解.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 第一章 绪论 一 本章的学习要求 （1）会求有效数字。 （2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。 二 本章应掌握的重点公式 （1）绝对误差：设为精确值，为的一个近似值，称为的绝对误差。 （2）相对误差：。 （3）绝对误差限：。 （4）相对误差限：。 （5）一元函数的绝对误差限：设一元函数 （6）一元函数的相对误差限：。 （7）二元函数的绝对误差限：设一元函数 （8）二元函数的相对误差限：。 三 本章习题解析 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计及的相对误差限。 解：（1）有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字。 （2）由题可知：为的近似值，分别为近似值。 所以 同理有为的近似值，，为，的近似值，代入相对误差限公式： 正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过? 解：设正方形的边长为，则面积为，，在这里设为边长的近似值，为面积的近似值：由题可知： 即： 推出：。 测得某房间长约=4.32m，宽约为=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m 解：设 则有：，。在这里分别为，，的近似值： 相对误差限为：。 下列公式如何计算才比较准确： (1)当x的绝对值充分小时，计算； （2）当N的绝对值充分大时，计算； （3）当x的绝对值充分大时，计算。 解：（1）当时，== = （2）当时，== = (3)当时，= =。 列满足递推关系=10-1，n=1,2,…，若=，计算到时误差有多大？这个计算数值稳定吗？ 解：已知准确值，近似值，设他们的误差为，则有：= = 以此类推所以= = 计算，取1.4，直接计算和用来计算，哪一个最好？ 解：依题意构造函数，则，由绝对误差公式 ==0.003072 求二次方程-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。 解：由求根公式：。所以。，对比可知： 较小的根为，由相近数相减原理则有： 如果利用四位函数表计算，试用不同方法计算并比较结果的误差。 解： 设x的相对误差限为δ，求的相对误差限。 解：由题意可知：设，则有在这里设为的近似值， 为的近似值，由已知的相对误差限为。 所以： 已知三角形面积S=absinc,其中c为弧度，满足0c，且a,b,c,的误差分别为 ,，。证明面积误差满足++。 解：由误差定义：，又因为：， ，代入上式可得： 两边同除以可得：， 约分可得：， 因为：0c 则有：c0.， 所以命题成立。 第二章 插值法 一 本章的学习要求 （1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 （2）会应用插值余项求节点数。 （3）会应用均差的性质。 二 本章应掌握的重点公式 （1）线性插值：。 （2）抛物插值：。 （3）次插值：。 （4）拉格朗日插值余项：。 （5）牛顿插值公式： 。 （6）。 （7）。 （8）牛顿插值余项：。 三 本章习题解析 给定的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。 解：设所求插值多项式为，且已知： ，代入插值基函数公式：可得：= = = 化简代入得: 若，求，。 解: 由 ，所以: ! ，.由均差的性质(三)可知: ， 给定函数表 0 1 2 3 4 5 -7 -4 5 26 65 128 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。 解：(1) ，取0.5附近的4个点为宜。故取，，。则，按照习题1求出插值基函数。代入。可得：，所以： （2）设牛顿插值多项式为 ， 列差商表： 一阶插商 二阶插商 三阶插商 0 -7 1 -4 3 2 5 9 3 3 26 21 6 1 所以：=-5.875 设为互异节点（j=0,1,2,…,n）求证：，=0,1,2,…,其中为次插值基函数。 证明：根据题意：设，所以有 ， 结合上式所以有：=， 由余项定理可知：， 且由定理二可知，当时，所以就有。 在这里令变量，所以命题：，成立。 设且，求证：。 证明：由题可知：，，故可构造线性插值多项式即为下式： ，记为（1）式， 因为，记为（2）式，其中，记为（3）式， 将（1）（3）代入（2）整理： 所以：这里取代入，可推出：再放缩得 若有个不同实零点证明： 证明：由题可知：有个不同实零点，故还可以表示成根形式的多项式，即： ； 由导数的定义可知： =在此设：； ，记为（1）式 当时，，则（1）变为； 当，则（1）式变为0， 综上所述： 给定函数表 -2