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数值计算方法
习题一(2)
习题二(6)
习题三(15)
习题四(29)
习题五(37)
习题六(62)
习题七(70)
2009.9,9
习题一
1.设0相对误差为2%,求,的相对误差。
解:由自变量的误差对函数值引起误差的公式:
得
(1)时
;
(2)时
2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出他们各有几位有效数字。
(1);(2);(3)。
解:由教材关于型数的有效数字的结论,易得上面三个数的有效数字位数分别为:3,4,5
3.用十进制四位浮点数计算
(1)31.97+2.456+0.1352; (2)31.97+(2.456+0.1352)
哪个较精确?
解:(1)31.97+2.456+0.1352
=
=0.3457
(2)31.97+(2.456+0.1352)
=
=0.3456
易见31.97+2.456+0.1352=0.345612,故(2)的计算结果较精确。
4.计算正方形面积时,若要求面积的允许相对误差为1%,测量边长所允许的相对误差限为多少?
解:设该正方形的边长为,面积为,由
解得==0.5%
5.下面计算的公式哪个算得准确些?为什么?
(1)已知,(A),(B);
(2)已知,(A),(B);
(3)已知,(A),(B);
(4)(A),(B)
解:当两个同(异)号相近数相减(加)时,相对误差可能很大,会严重丧失有效数字;当两个数相乘(除)时,大因子(小除数)可能使积(商)的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
(1)(A)中两个相近数相减,而(B)中避免了这种情况。故(B)算得准确些。
(2)(B)中两个相近数相减,而(A)中避免了这种情况。故(A)算得准确些。
(3)(A)中使得误差增大,而(B)中避免了这种情况发生。故(B)算得准确些。
(4)(A)中两个相近数相减,而(B)中避免了这种情况。故(B)算得准确些。
6.用消元法求解线性代数方程组
假定使用十进制三位浮点数计算,问结果是否可靠?
解:使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
(1)-(2)得,即,把的值代入(1)得;把的值代入(2)得
解不满足(2)式,解不满足(1)式,故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7.计算函数和处的函数值(采用十进制三位浮点数计算)。哪个结果较正确?
解:
=
=
即,
而当时的精确值为1.6852,故的算法较正确。
8.按照公式计算下面的和值(取十进制三位浮点数计算):
(1);(2)。
解:(1)=
(2)=
9.已知三角形面积,其中。
证明:。
证明:由自变量的误差对函数值的影响公式:。 得
=
(当时,),命题得证。
习题二
1.找出下列方程在附近的含根区间。
(1);(2);
(3);(4);
解:(1)设,则,,由的连续性知在内,=0有根。
同题(1)的方法可得:(2),(3),(4)的零点附近的含根区间分别为;;
2.用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。
解:令,则有,,,
所以函数在上严格单调增且有唯一实根。
本题中求根使得误差不超过,则由误差估计式
,所需迭代次数满足,即取便可,因此取。
用二分法计算结果列表如下:
0
0
2
1
-0.1585
1
1
2
1.5
0.4962
2
1
1.5
1.25
0.1862
3
1
1.25
1.125
0.015051
4
1
1.125
1.0625
-0.0718
5
1.0625
1.125
1.09375
-0.02835
6
1.09375
1.125
1.109375
-0.00664
7
1.109375
1.125
1.1171875
0.004208
8
1.109375
1.1171875
1-0.001216
9
11.1171875
1.115234375
0.001496
10
11.115234375
1.1142578125
0.001398
11
11.1142578125
1.11376953125
-0.000538
12
1.11376953125
1.1142578125
1.114013671875
-0.000199
13
1.114013671875
1.1142578125
1.1141357421875
-0.0000297
14
1.114135742187
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