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全等三角形的经典模型(一)
全等三角形的经典模型(一)
题型一:等腰直角三角形模型
思路导航
等腰直角三角形数学模型思路:
⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BC或).如图1;
⑵常见辅助线为作高,利用三线合一的性质解决问题.如图2;
⑶补全为正方形.如图3,4.
图1 图2
图3 图4
典题精练
已知:如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,,O为BC的中点,
⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系(不要
求证明)
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持
AN=CM.试判断△OMN的形状,并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动,且在移动中保持AN=CM,试判断⑵中结论是否依然成立,如果是请给出证明.
⑴OA=OB=OC
⑵连接OA,
∵OA=OC AN=CM
∴△ANO≌△CMO
∴ON=OM
∴
∴
∴
∴△OMN是等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形,
证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,O为BC中点
∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°,
∴AO=BO=OC,
∵在△ANO和△CMO中,
∴△ANO≌△CMO(SAS)
∴ON=OM,∠AON=∠COM,
又∵∠COM∠AOM=90°,
∴△OMN为等腰直角三角形.
两个全等的含,角的三角板和三角板,如
图所示放置,三点在一条直线上,连接,取的
中点,连接,.试判断的形状,并说明理由.
【解析】是等腰直角三角形.
证明:连接.由题意,得
∴为等腰直角三角形.
∵,
∴.
∴,
∴≌.
∴.
又.
∴,
∴是等腰直角三角形.
已知:如图,中,,,是的中
点,于,交于,连接.
求证:.
证法一:如图,过点作于,交于.
∵,,
∴.
∵,∴.
∵,∴
∵,∴.
∴.
在和中,
∴.∴.
在和中,
∴.
∴.
证法二:如图,作交的延长线于.
∵,∴,
∵,
∴,
∴.
在和中,
∴.
∴,
∵,∴.
在和中,
∴.∴
∴.
如图,等腰直角中,,为内部一点,满足
,求证:.
补全正方形,连接DP,
易证是等边三角形,,,
∴,,∴,
∴.
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易的效果,从而顺利地求解。例4为求角度的应用,其他应用探究如下:
【探究一】证角等
【备选1】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M为AC中点,连结BM,作AD⊥BM交BC于点D,连结DM,求证:∠AMB=∠CMD.
作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC,延长AD交CF于点N,
∵AN⊥BM,由正方形的性质,可得AN=BM,
易证Rt△ABM ≌Rt△CAN,∴∠AMB=∠CND,CN=AM,
∵M为AC中点,∴CM=CN,
∵∠1=∠2,可证得△CMD≌△CND,
∴∠CND=∠CMD,
∴∠AMB=∠CMD.
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图,Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,AD=CE,AN⊥BD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.
作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC,
可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K,
∵AK⊥BD,可知AK=BD,易证:Rt△ABD≌Rt△CAK,
∴∠ADB=∠CKN,CK=AD,
∵AD=EC,∴CK=CE,
易证△CKN≌△CEN,∴∠CKN=∠CEN,
易证∠EDF=∠DEF,∴△DEF为等腰三角形.
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,且BE=4,CF=3,求S矩形DFAE.
作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB,
可知四边形ABGC为正方形,分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,
可知DN=EB=4,DM=FC=3,
由正方形对称性质,
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,∠BAC=45°,BD=3,CD=2,求AD的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列
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