第3讲.全等三角形中地角平分线.教师版.doc

实用标准文案 2 - 精彩文档 第 第三讲 全等三角形中的角平分线 中考要求 中考要求 板块 考试要求 A级要求 B级要求 C级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 知识点睛 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 重、难点 重、难点 重点： 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化 例题精讲 例题精讲 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． ，这种对称的图形应用得也较为普遍， 如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，求的面积． A A D O C B ∵点为中角平分线的交点， ∴点到三边距离相等． ∴ 如图所示：，，、相交于点．求证：平分． 利用证得≌，∴， 根据已知可得，利用证得≌， ∴，利用证得≌， ∴，∴平分 已知中，，、分别是及平分线．求证：． ∵ ∴ ∵平分，∴． 同理． 在与中，，， ∴，∴． 点评：其实就是等腰三角形底角平分线相等． 在中，为边上的点，已知，，求证：． 延长到，使，连结， 在和中 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴． (2006年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明． 理由是：在上截取，连结 利用证得≌ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 利用证得≌ ∴ ∴ 【点评】此题老师在证明角度相等的时候，可以不用讲义给的方法，而是根据来证明 如图，已知是上的一点，又，．求证：． ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ (北京中考题)如图所示，是和的平分线，，．求证：． ∵是和的角平分线 ∴， ∴ 在和中 ∴(SAS)，∴． 如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：． 在上截取，连结，， ，，可推出， 进而证明，，进而得． (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________． 由AB=4，AE平分∠BAD可知BE=AB=CD=4． 由基本图可知△BEF≌△CDE，故EF=DE 又BC=7，BE=4，故CE=3． 由勾股定理可知，DE=5． 从而可知EF=5． 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥ 　　　　 延长到，使，连结，利用证明≌， ∴，，又，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴∥． 【补充】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．