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实用标准文案
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精彩文档
习题3
3-1.求下列齐次线性方程组的通解:
(1).
解 对系数矩阵施行行初等变换,得
,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
,
即
(其中是自由未知量),
令,得到方程组的一个基础解系
,
所以,方程组的通解为
为任意常数.
(2).
解 对系数矩阵施行行初等变换,得
,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
,
即
(其中是自由未知量),
令,,得到方程组的一个基础解系
,,
所以,方程组的通解为
,为任意常数.
(3).
解 对系数矩阵施行行初等变换,得
,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
,
即
(其中是自由未知量),
令,,得到方程组的一个基础解系
,,
所以,方程组的通解为
,为任意常数.
3-2.当取何值时,方程组
有非零解?
解 原方程组等价于
,
上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式
,
即
,
从而当和时方程组有非零解.
3-3.求解下列非齐次线性方程组:
(1).
解 对增广矩阵施行行初等变换
,
因为,所以方程组有解,继续施行行初等变换
,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
,
即
(其中为自由未知量),
令,得到非齐次方程组的一个解
,
对应的齐次方程组(即导出方程组)为
(其中为自由未知量),
令,,得到对应齐次方程组的一个基础解系
,,
方程组的通解为
,
其中为任意常数.
(2).
解 对增广矩阵施行行初等变换
,
因为,所以方程组有解,继续施行行初等变换
,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
,
即
(其中为自由未知量),
令,得到非齐次方程组的一个解
,
对应的齐次方程组(即导出方程组)为
(其中为自由未知量),
令,,得到对应齐次方程组的一个基础解系
,,
方程组的通解为
,其中为任意常数.
(3).
解 对增广矩阵施行行初等变换
,
因为,所以方程组无解.
3-4.讨论下述线性方程组中,取何值时有解、无解、有惟一解?并在有解时求出其解.
.
解 方程组的系数行列式为
.
(1)当时,即时,方程组有惟一解.
(2)当时,即时,
(i) 当时,原方程组为
,
显然无解.
(ii) 当时,原方程组为
,
对该方程组的增广矩阵施行行初等变换
,
因为,所以方程组有无穷多组解,
与原方程组同解的方程组为
,
即
(其中为自由未知量),
令,得到非齐次方程组的一个解
,
对应的齐次方程组(即导出方程组)为
(其中为自由未知量),
令,得到对应齐次方程组的一个基础解系
,
方程组的通解为
,其中为任意常数.
3-5.写出一个以为通解的齐次线性方程组.
解 由已知,和是齐次线性方程组的基础解系,即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2,而未知数的个数为4,所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,故可设系数矩阵
,
由可知和满足方程组
,
即方程组的线性无关的两个解即为,
方程组的系数矩阵
,
该方程组等价于
(其中为自由未知量),
令,,得到该齐次方程组的一个基础解系
,,
故要求的齐次线性方程组为,其中,
即
.
3-6.设线性方程组
,
的解都是的解,试证是向量组
,,?,的线性组合.
证 把该线性方程组记为(*),由已知,方程组(*)的解都是的解,所以方程组(*)与方程组
,
同解,从而有相同的基础解系,于是二者有相同的秩,则它们系数矩阵的行向量组
和的秩相同,故可由线性表示.
3-7.试证明:的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解.
证 必要性.因为,只须证与的基础解系相同.与的基础解系都含有个线性无关的解向量.又因为的解都是得解.所以的基础解系也是的基础解系.即与有完全相同的解.所以的解都是的解.
充分性.因的解都是的解,而的解都是的解,故与有完全相同的解,则基础解系也完全相同,故,所以.
3-8.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量,使.
证 充分性.若存在列向量及行向量,其中不全为零,,则有
,
显然矩阵的各行元素对应成比例,所以.
必要性.若,则经过一系列的初等变换可化为标准形
,
而矩阵可以表示为
,
则存在可逆矩阵,使得,从而
,其中均可逆,
记
, ,
又因为可逆,则至少有一行元素不全为零,故列向量的分量不全为零,同理,因为可逆,所以行向量的分量不全为零.因此,存在非零列向量及非零行向量,使.
补充题
B3-1.设是矩阵,是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组,则下列结论正确的是( D ).
若仅有零解,则有惟一解;
若有非零解,则有无穷多个解;
若有无穷多个解,则仅有零解;
若有无穷多个解,则有非零解.
B3-2.设为阶实矩阵,是的转置矩阵,则对于线性方程组
(ⅰ);
(ⅱ),
必有( D ).
(A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解;
(B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的
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