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数学必修(二)知识梳理与解题方法分析
第一章 《空间几何体》
一、本章总知识结构
二、各节内容分析
1.1空间几何体的结构
1.本节知识结构
1.2空间几何体三视图和直观图
1、本节知识结构
1.3 空间几何体的表面积与体积
1、本节知识结构
。
三、高考考点解析
本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:
1.多面体的体积(表面积)问题;
2.点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离)问题—“等体积代换法”。
(一)多面体的体积(表面积)问题
1. 在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
【解】(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,
于是,PO=BOtan60°=,
而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.
2.如图,长方体ABCD-中,E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点,
(Ⅲ)求三棱锥P-DEN的体积。
【解】
(Ⅲ)
作,交于,由面得
∴面
∴在中,
∴。
(二)点到平面的距离问题—“等体积代换法”。
1 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
(III)求点E到平面ACD的距离。
【解】 (III) 设点E到平面ACD的距离为
,
∴
在中,
而
点E到平面ACD的距离为
2.如图,已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1,是底面边上的中点,是侧棱上的点,且。
(Ⅱ)求点到平面的距离。
【解】(Ⅱ)过在面内作直线
,为垂足。又平面,所以AM。于是H平面AMN,故即为到平面AMN的距离。在中,=。故点到平面AMN的距离为1。
3 如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点。
(1)求O点到面ABC的距离;
【解】(1)取BC的中点D,连AD、OD。
,则
∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H,
则OH⊥面ABC,OH的长就是所要求的距离。
,。
∴面OBC,则。
,在直角三角形OAD中,有
(另解:由知:)
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》
一、本章的知识结构
二、各节内容分析
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
(1)四个公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
符号语言:。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
三个推论:① ② ③
它给出了确定一个平面的依据。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。
符号语言:。
公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言:。
(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,经过空间任意一点O作直线,我们把与所成的角(或直角)叫异面直线所成的夹角。(易知:夹角范围)
定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形)
2.位置关系:
(3)空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种:
(4)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种:
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
(1)四个定理
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
平行的判定
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”
平面与平面
平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
判定的关键:在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”
直线与平面
平行的性质
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
平面与平面
平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(2)定理之间的关系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:
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