随机信号与系统课第一章习的题目部分问题详解.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 第一章 习题 1-1 对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求 （1）射击次数的概率分布表； （2）射击次数的概率分布函数。 解：（1）设 事件A：每次射击命中目标 事件B：第n次首次命中目标 则射击次数的概率分布表为： 次数 1 2 3 … n … （2）射击次数的概率分布函数：. 1-2 假设测量某一目标的距离时，随机偏差X（单位m）的分布密度为 试求在三次测量中，至少有一次测量偏差的绝对值不超过30m的概率。 解：由随机误差分布密度可知， 设 事件A：一次测量中的测量误差的绝对值超过30m； 事件B：三次测量中至少有一次测量误差的绝对值不超过30m；则 1-3 对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求射击次数的数学期望和方差。 解：设射击次数为X，由题1-1，知其概率分布函数为，所以其数学期望为.设，则 Sn=1+2(1-p)+3(1-p)2+…+(n-1)(1-p)n-2 +n(1-p)n-1 ① (1-p)Sn= (1-p)+2(1-p)2+3(1-p)3+ … +(n-1)(1-p)n-1+n(1-p)n ② ①-②，得 pSn=1+(1-p)+(1-p)2+(1-p)3+…+(1-p)n-1-n(1-p)n， 化简得. ∴ . 射击次数的方差为， ∵ ，， ∴ . 设，则 Qn=1×0+2×1(1-p)+3×2(1-p)2+…+(n-1)(n-2)(1-p)n-2 +n(n-1)(1-p)n-1 ③ (1-p)Qn= 1×0(1-p)+2×1(1-p)2+3×2(1-p)3+ … +(n-1)(n-2)(1-p)n-1+n(n-1)(1-p)n ④ ③-④，得 pQn=2×1(1-p)+2×2(1-p)2+2×3(1-p)3+…+2(n-1)(1-p)n-1-n(n-1)(1-p)n， 整理得 又 ， ∴ ， ∴ . ∴ 1-4 对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a，b]内，求圆面积的分布密度和数学期望。 解：设X为圆直径的近似测量值，则X的概率密度函数为 分布函数为 设圆的面积为Y，则Y=πX2/4，所以圆面积的分布函数 计算得 ∵ Y=πX2/4，∴ 圆面积Y的数学期望. ∴ . 1-5 设随机变量X和Y互相独立，且服从正态分布。试证明随机变量Z1=X 2+Y 2与随机变量Z2=X/Y也是独立的。 证明：不妨设X和Y均为标准高斯变量，由于 ， ∴ . 由于Z1=X 2+Y 2，Z2=X/Y，反解X、Y，可得 或 代入，可得Z1与Z2的联合分布密度为 其边缘密度为 ∴ 有，所以Z1与Z2二者相互独立. 1-6 设随机变量X和Y是独立的，且分别服从参数为a和b的泊松分布。试应用特征函数来证明随机变量Z=X+Y服从参数为a+b的泊松分布。 证明：（方法一） 不妨设，，则 ， 因为X、Y相互独立 所以 因此有下式： 所以Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕. （方法二）： 由条件可知随机变量X、Y的特征函数分别为 所以 又X、Y独立，由特征函数性质可知Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕. 1-7 设泊松分布为 试证明：（1）均值和方差皆为?；（2）特征函数为exp[?(ej?-1)]。 证明：（1） . （2） 1-8 均值和方差分别为? 和? 2的高斯密度函数为 试证明 （1）特征函数为 （2）高斯变量的中心矩为 证明：（1） （2） . 令则 当k为奇数时，因为被积函数是奇函数，故 当m为偶数时，因为被积函数是偶函数，故 令 ，证毕. 1-9 已知随机变量x1和x2相互独立，且x1，x2～N（μ，σ2）。试求y=2x1+3x2的概率密度函数。 解： . 1-10 考虑p阶子回归序列模型 式中，ai（i=1，2，…，p）称为自回归系数；ek～N(0，σe2)，且E[xk?m ek]=0，?0 m ? p。令k=p，p+1，…，N-1，得到N?p个观测序列{xp，xp+1，…，xN?1}，且有 上式表示，在给定x1=[x0，x1，…，xp?1]T、a=[a1，a2，…，ap]和ek～N(0，σe2)的条件下，观测序列x2=[xp，xp+1，…，xN?1]T是由白噪声序列ep，ep+1，…，eN?1的线性变换而得到的。试求到x2的概率密度p(x2|x1，a，?e2)。 解： ,而E[xp e