立体几何的知识点地总结.docx

PAGE \* MERGEFORMAT 9 立体几何知识点总结 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱； 侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面 底面是正多边形 四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形 长方体底面是正 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形； Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比； 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； ABCDOHPⅡ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形，，， A B C D O H P 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 （2）性质： ① 任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫 小圆） ② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且，其中为球半径，为截 面半径，为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（为底面周长，为高，为棱锥的斜高或圆锥的母线） 直棱柱、圆柱的侧面积 ； 正棱锥、圆锥的侧面积 （3）柱体、锥体的体积公式 ， （4）球体的表面积和体积公式： ； （5）球面距离（注意识别经度和纬度） 球面上两点的球面距离,其中为劣弧所对的球心角的弧度数. 4、空间几何体的三视图 空间中的点、直线、平面之间的关系 （一）、立体几何网络图： 公理 公理4 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 三垂线逆定理 三垂线定理 ⑴ ⑵ ⑷ ⑶ ⑸ ⑹ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⑼ ⑽ ⒂ ⒃ ⑺ ⑻ 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （12）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （7）、如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断： （2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理： 性质定理： ★判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法)：，则∥α (用于判断)； ⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； ⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； ⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2 线面斜交和线面角：∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 线面角注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 线面角 当直线垂直于平面时，θ=90° 4、线面垂直的判断： ⑼ 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁ 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒃ 如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 判定定理： 性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。 即： （2）垂直于同一平面的两直线平行。 即： ★判断或证明线面垂直的方法