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习题三
1 甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为
X0 1 2 3PX ( xi
X
0 1 2 3
PX ( xi )
Y
0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 2 3
PY ( yi )
0.3 0.5 0.2 0
解：甲台机器一天的平均次品数 EX ??0 ??0.4 ?1??0.3 ??2 ??0.2 ??3 ??0.1 ??1;
乙台机器一天的平均次品数 EY ??0 ??0.43 ?1??0.5 ??2 ??0.2 ??3 ??0 ??0.9 ，
∵ EX ??EY , 而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。
x2 某种电子元件的寿命 X （单位： h ）的概率密度为：
x
?
f ( x) ????
?2 ????x ,
?
xe x
??0;
其中 ??0为常数.求这种电子元件的平均寿命。
?
?0, x ??0.
?∞ ?∞ ?∞ 2
解： ???∫
( ) ??∫
2 ?? ????2 ∫ 2 ??
利用两次分部积分，可得
??? 。
EX xf x dx x?
xe dx ?
x e dx EX
?∞ 0 0 ?
3 设随机变量 X 的概率密度为
x?k ??, 0 ??x ??1; 的值
x
f x( )
f x
?0, 其它.
已知 ??0.75, 求 及 .
xEX
x
?∞
f解：因为 ( x) 是密度函数，所以 ∫?∞
f
f ( x) ??1, 即
??1
?
? 1
?
1∫0 kx dx ??1 ??k
1
∫
又
x ??1 ?
??1 0
? ?
1
?
k ??1;
k
k ?
??2
? 1
EX ??0.75,∴
∫0 xkx dx ??0.75 ??k
x ??2 0 ?
k ??075;
??2
? ?
?两式联立可解得 ??3, ??2.
?
k
4 设设随机变量 X 的概率分布如下：
-1 0 1 2
X
1 1 1 1
P ( x ) 6 6 6 2
X i
求 , (?2
??1), 2 .
EX E X EX
? ? ? ? 解： ??(?1) ??1 ??0 ??1 ??1??1 ??2 ?
? ? ? ?
EX 6 6 6 2
E (?2 X ??1) ??(?2) EX ??1 ???1;
? ? ? 1 ??? .
EX 6 6 6 2 3
5 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废
品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。 解：设 表示取得合格品以前已取出的废品数，则 的概率分布为
X X
0 1 2 3
PX
P
9 1 1
212 P3 P9
2
P12
即
2 1
P3 P9
3P12
3
3 1
P3 P9
4P12
4
0 1 2 3
X
330
P
440
90
440
18
440
1
440
? ? 1 ??? ? 0.29;
EX 440 440 440 440
? ? ? ? 2 ??( )2 ??12 ???90 ??22 ???18 ??32 ????1 ??(129 )2
? ? ?
DX EX EX
440 440 440 440
??X ? DX
? 0.55.
x?0, ???1;
x
?
6 设随机变量 的分布函数为 F ( x) ???a ??b arcsin x, ?1 ≤?x ≤?1; 试确定常数 a, b ，并求
X
与 。
EX DX
??1, x ??1.
?
?? b , ?1 ≤ ≤?1;
?
? 1x
? 1
解： ( ) ??????1 ????2
又∫ ( )
??1,
f x ? x
?∞???f x dx
?0, 其它.
1
∴?∫??? b
??1, ∴arcsin1 ??arcsin(?1) ??1 ? ??? ;
x?1 1
x
????2 dx b b ?
F (0) ??a ??b arcsin 0 ??a;
又 (0) ? (
0
≤?0) ??∫
0 1 1 1
?( ) ??∫??? ? ,
?
F P X
? ∴ ??1
?
?∞??f x dx
?1 ? 1 ?
2 dx 2
x
a 2
?∞ 1
1 1 1 1
∵
∫?∞
dx ∫?1
1 ????2
1 ????2
E
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