浅谈信息学竞赛中“0”和“1”.pptVIP

这样，每次插入和查询的时间复杂度为O(logN)的，对与这道题目整体的时间复杂度为O(NlogN)。 WuSen “1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。” 浅谈信息学竞赛中的“0”和“1” —二进制思想在信息学竞赛中的应用 河北省石家庄二中 武森 content 二进制思想在数据结构中的应用 树状数组 二进制思想在解题思想中的应用 状态压缩 模型转化 01二叉树 例题一：Matrix 有一个M*N的矩阵，每一个格子中的数是1或0，初始时为0。有两种操作： 修改一个子矩阵，将子矩阵中的数字全部01取反。 查询第x行第y列的格子中的数字。 如果给定的是一个长度为N的一排格子。 退而求其次 每次可以修改一个子列中的数字。 这样，这道题目就变得简单了！ 根据这个题目中介绍的这个矩阵中的 数的特点不是1就是0，这样我们只需记录 每个格子改变过几次，即可判断这个格子 的数字。 每次修改的时候，不妨把格子修改的范围(x,y)变成两个点,一个为更改的初始节点x，另一个为更改的终止节点y+1，然后往这列格子中的这两个节点中加 1。 修改： 每次修改的时候，不妨把格子修改的范围(x,y)变成两个点,一个为更改的初始节点x，另一个为更改的终止节点y+1，然后往这列格子中的这两个节点中加 1。 修改： 每次询问的时候只需计算出Sumx就可以 求出第x个格子被修改过几次。 查询 每次询问的时候只需计算出Sumx就可以 求出第x个格子被修改过几次。 查询 寻根溯源 用上面的方法看看能否解决原来的问题。 推而广之 如果是要处理三维的情况，甚至N维的 情况呢？ 一般的数据结构能解决吗？ 不能！！ 怎么办呢？？？ 二进制思想 二进制思想在数据结构中的应用： 树状数组中的每一个元素的编号变成了二制 编码，再通过这些二进制编码末尾的0的个数来 决定存储什么信息，假设节点编号为x，那么这 个节点存储数据的区间为2k（其中k为x二进制 末尾0 的个数）个元素。 又由于每个十进制数转化成二进制位的话，1的个数最多只有O(logN)个，所以，复杂度只有O(logN)。 具体操作： 2k：X and –X 插入或删除： While x=max do Begin C[x]:=c[x]+delta; X:=x+(x and –x); End; 查询： While x0 do Begin Sum:=sum+c[x]; X:=x-(x and –x); End; 树状数组 优势 代码长度短，不易出错。 思想巧妙，算法复杂度低。 维护简单，空间消耗低。 易推广到二维甚至三维等等。 例题二：Cow Xor 农民约翰在喂奶牛的时候被另一个问题卡住了。他的所有N(1 =N = 100,000)个奶牛在他面前排成一行(按序号1..N 的顺序)，按照它们的社会等级排序。奶牛#1 由最高的社会等级，奶牛#N 最低。每个奶牛同时被赋予了一个唯一的数在0..221 -1的范围内。帮助农民约翰找出应该从那一头奶牛开始喂，使得从它开始的某一个连续的子序列上的奶牛的数的异或值最大。如果有多个这样的子序列，选择结尾的奶牛社会等级最高的。如果还不唯一，选择最短的。 直接枚举起始点和终结点 ？ 时间复杂度是O(N*N) Impossible!!! 根据异或的性质，可以得出以下结论： Sumk=a1 xor a2 xor a3… ak-1 xor ak ai xor ai+1 … aj-1 xor aj=Sumj xor Sumi-1 二进制思想 数的范围在0..221 – 1的整数 把这些数转化成二进制只有21位 有用吗？？？ Of Course！！！ 01二叉树 顾名思义，树的节点的值为0或1。 插入 每次插入的时候，根据这个数的二进 制数进行建树，第i位是1则向左儿子 建一条边，反之向右儿子建边。 插入 每次插入的时候，根据这个数的二进 制数进行建树，第i位是1则向左儿子 建一条边，反之向右儿子建边。 查询 每次查询的时候，用贪心的思想根 据这个数的二进制数进行，第i位是 1如果有右儿子则向右儿子进行，反 之向左儿子进行。 查询 每次查询的时候，用贪心的思想根 据这个数的二进制数进行，第i位是 1如果有右儿子则向右儿子进行，反 之向左儿子进行。 这道题目完美解决~ WuSen