概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布.ppt

2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数 2.4.２ 常见的连续型随机变量 2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数 定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得 其中 F(x) 是它的分布函数． 则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度． x f ( x) x F ( x ) 分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义 p.d.f. f ( x )的性质 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数 在 f ( x ) 的连续点处， 1 x ? 对于连续型随机变量，还要指出两点： （1）F(x)是连续函数; （2）P{X=a}=0（a为任意实数）. 因此，对于连续型随机变量，有 x f ( x) a 例1 设随机变量 具有概率密度函数 试确定常数A， 以及 的分布函数. 　解:由 知A=3，即 而 的分布函数为 例2 在高为h 的 ABC 中任取一点M ,点M到 AB 的距离为X , 求X 的分布函数，概率密度函数 f (x). E F A B C h .M X x 解 作 当 时 使EF 与AB间的距离为x 于是 2.4.2.1 均匀分布 (a ,b)上的均匀分布 记作 2.4.2 常见的连续型随机变量 若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间 其中 X 的分布函数为 x f ( x) a b x F( x) b a 即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比.这正是几何概型的情形. 若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则 应用场合: 例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率. 解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间 上的任一值，则 所以 2.4.2.2 指数分布 若X 的密度函数为 则称X 服从参数为?的指数分布 记作 X 的分布函数为 ?? 0 为常数 1 x F( x) 0 x f ( x) 0 对于任意的 0 a b, 应用场合: 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似 若 X ~Ｅ(?),则 所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布 指数分布的“无记忆性” 事实上 例4 令：B={ 等待时间为10-20分钟 } 例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生 　故障的次数 N( t ) 服从参数为?t 的Poisson分布, 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 (2) 求设备已经无故障运行８小时的情况下，再 　无故障运行 10 小时的概率. 解 (1) 即 (2) 由指数分布的“无记忆性” F(x) x 1. 定义 若X的概率密度为 分布函数为： 其中μ,σ(σ0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X～ N（μ,σ2） 2.4.2.3 正态分布 f (x) 的性质： (1) 图形关于直线 x = ? 对称： f (? + x) = f (? - x) 在 x = ? 时, f (x) 取得最大值 或对于任意的x 0有 P{μ-x＜X ≤μ} = P{μ＜X≤μ+x} 显然， x离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的区间，X 落在离μ越远的区间内， 概率越小。 (2) (3) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 (4) 拐点：(μ±σ，f(μ±σ)); 水平渐近线：ox 轴。 (5) f(x)的两个参数： f(x) x σ=2 σ=0.5 σ=1 μ1 μ2 f(x) x (6) 固定?，改变?值，曲线 f(x)形状不变，仅沿x轴平移。可见?确定曲线 f(x)的位置 。 (7) 固定?, 改变?值, 则?愈小时, f(x)图形的形状愈陡峭, X 落在?附近的概率越大。 ? — 位置参数 ? — 形状参数 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两