角平分线模型精华篇.doc

WORD格式可编辑 专业知识分享 角平分线有关的辅助线 角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法： （1）角平分线+两边垂线→全等三角形： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等； 已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B； 辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B； 结论：① △ACD≌△ABD；② CD= DB （角分线垂两边，对称全等必呈现） （2）角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现： 遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N； 结论：① △OPM≌△OPN ； ② △OMN为等腰三角形； ③ P是MN的中点（三线合一）； （3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形： 已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点； 辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE， 结论：△OED≌△OFD ； （4）作平行线 ① 以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形； ② 过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形； 已知：OP平分∠MON，AB∥ON， 已知：OC平分∠AOD，DH∥OC， 结论： △OAB等腰三角形 结论： △ODH等腰三角形 角平分线模型应用 角平分线+两边垂线→全等三角形 辅助线：过点G作GE射线AC 已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB， 求证：CD=DB 证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠1=∠2，∵CD⊥AC，DB⊥AB， ∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD和△ABD中， ∴△ACD≌△ABD（AAS） ∴CD=BD 例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC． 例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC， 垂足分别为E、F．求证：BE=CF． 例3：如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D， 求证：MN=（AC-AB）. 例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF． 角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现 例：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F． 求证：BD=2CE 例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：2AM=（AB+AC） 例：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°， 求证：EF∥BC. 截取构造全等： 例.????如图，ABAC，∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。 例:??如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 例:?在中，，是的平分线．是上任意一点． 求证：． 　 　　　 例:?已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D， ACBD求证：AD＋ A C B D 角平分线+平行线模型 例1、△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且 MN∥BC交AB、 A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+ A C；