高等流体力学零方程模型.doc

实用标准文案 精彩文档 第三节 零方程模型及一方程模型 任一变量的时间平均值定义为； 对变量作平均处理，可得： 对于动量方程，附加项为： 对其他变量附加项： 紊流粘性系数与紊流扩散系数： 1零方程模型 所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。 零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。Prandtl假定湍动粘度正比于时均速度的梯度和混合长度的乘积。 例如，在二维问题中，有： （4.18） 湍流切应力表示成为： (4.19) 其中，混合长度由经验公式或实验确定。 混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度，对于复杂流动则很难确定，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。 4.3.2一方程模型 零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程和Reynolds方程的基础上，再建立一个湍动能k的输运方程，而将表示成k的函数，从而使方程组封闭。这里，湍动能k的输运方程表示为： (4.20) 上式从左至右，方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。 由Kolmogorov-Prandtl 表达式，有： (4.21) 其中，，为经验常数，多数文献建议：＝1，＝0.09，而的取值在不同的文献中结果不同，从0.08到0.38不等。但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。l为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验而定。 以上两式联合构成一方程模型。一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。但是，一方程模型中如何确定长度比尺l仍是不易决定的问题，因此很少在实际工程计算中应用。 4.4标准两方程模型 标准模型是典型的两方程模型，是在4.3节介绍的一方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率的方程后形成的。该模型是目前使用最广泛的湍流模型。本节介绍标准模型的定义及其相应的控制方程组，下一节介绍改进的模型。 4.4.1 标准模型（standard model）由Launder和Spalding于1972年提出。 在模型中，k为湍动能（turbulent kinetic energy），其定义为,即： 表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate），定义为： （4.22） 湍动粘度则表示成k和的函数，即： （4.23） 其中，为经验常数。 在标准模型中，和是两个基本的未知量，与之相对应的输运方程为： (4.24) (4.25) 其中，是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，是由于浮力引起的湍动能k的产生项，代表可压湍流中脉动扩张的贡献，、和为经验常数，和分别是与湍动能k和耗散率对应当Prandtl数，和是用户根据计算工况定义的源项。 4.4. 首先，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算: (4.26) 是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体，＝0。对于可压流体，有： (4.27) 其中是湍动Prandtl数，在该模型中可取＝0.85，是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可结合可压流体的状态方程求出，其定义为： (4.28) 代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，。对于可压流体，有：