三角函数公式推导(精简板).docx

三角公式及 推导 　 诱导公式： 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z) HYPERLINK /slh/detail.asp?id=655 \l # \o 返回页首 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）  HYPERLINK /slh/detail.asp?id=655 \l # \o 返回页首 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ? ?? ?? ?? ?? ??tanα＋tanβ tan（α＋β）＝——————--? ?? ?? ?? ?? 1－tanα ·tanβ? ?? ?? ?? ?? ??tanα－tanβ tan（α－β）＝——————? ?? ?? ?? ?? 1＋tanα ·tanβ 和差公式的证明： 两角差的余弦 y y A B O C x β ββ (α-β βββββββα-　㎏βαβ β -β) α 令AO=BO=r 点A的横坐标为 点A的纵坐标为 点B的横坐标为 点B的纵坐标为 由余弦公式可得： 综上得： 两角和的余弦 两角和的正弦 两角差的正弦 两角和的正切 两角差的正切 二 HYPERLINK /slh/detail.asp?id=655 \l # \o 返回页首 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）表示一：sin2α＝2sinαcosα 证明：因为 sin(? +?)=sin??cos?+cos??sin?，令?=?=? ， 所以，可得：sin2?=2?sin??cos? 表示二：（以正切表示二倍角） sin2?= eq \f(2tan?,1+tan2?) 證明：sin2?=2sin?cos?=2 eq \f(sin?,cos?) cos2? =2tan?( eq \f(1,sec2?)) = eq \f(2tan?,1+tan2?) 余弦二倍角公式： 表示一：cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 证明：因为由和角公式：cos(? +?)=cos??cos??sin??sin?，令