第五节二次函数、对勾函数.doc

实用标准文案 精彩文档 第七节　二次函数及对勾函数 夯实基础　稳固根基 一、二次函数的图象和性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0) 图象 a0 a0 性质 抛物线对称轴是x＝－eq \f(b,2a)，顶点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) 抛物线开口向上，且向上无限伸展 抛物线开口向下，且向下无限伸展 在区间______________上是 减函数，在区间__________上是增函数 在区间___________上是增函数，在区 间______________上是减函数 性质 顶点为最低点，当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最小值，y最小＝eq \f(4ac－b2,4a) 顶点为最高点，当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最大值，y最大＝eq \f(4ac－b2,4a) 二、一元二次方程根的分布情况 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 三、对勾函数图象与性质 一、对勾函数 的图象与性质 1、的图像与性质 2、的图像与性质 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x0时，fx 当x0时，fx 即对勾函数的定点坐标： ， 对勾函数的定义域、值域 定义域：，值域： 对勾函数的单调性 ， 对勾函数的渐进线 对勾函数的奇偶性：在定义域内是奇函数 二、类耐克函数性质探讨 1、函数，在为简单的单调函数，不予讨论。 2、在有如下几种情况： 设，，则，其定义域为 (1)时，，在上分别单调递增。 故在为单调递增函数。 (2)时，，在上分别单调递减。 故在为单调递减函数 (3) 图像略 当时，，。当且仅当，即取等号。 当时 ，，当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。 4) 当时，，。当且仅当，即取等号。 当时 ，，当且仅当，即取等号。 疑难误区　点拨警示 二次方程根的分布问题中，列关系式时，要考虑全面，保持等价性．讨论二次方程根的分布时，一般应从以下几个方面入手．①开口方向；②判别式；③对称轴位置；④区间端点函数值的符号．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想． 对勾函数单调性及等号成立的条件 例题精析 [例1]　如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3] C．(－∞，5] D．[3，＋∞) 变式 1 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(x)≥f(1)恒成立，f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 2 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　) A．f(－2)f(0)f(2) B．f(0)f(－2)f(2) C．f(2)f(0)f(－2) D．f(0)f(2)f(－2) [例2] 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 变式 1、 关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m A．－3m0 B．0m3 C．m－3或m0 D．m0或m3 2、 已知二次方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有且仅有一实根在(0,1)内，则m的取值范围是________． [例3]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数． 变式 1、若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式xf(x)2x＋m恒成立