椭圆地常见的题目型及解法(二).doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 椭圆的常见题型及解法（二） 一 对称问题 平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”. ①点A关于B的对称点为C，点B为A、C的中点，由中点坐标公式有：； ②设点A(x1,y1)关于直线：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC直线与垂直，且AB的中点在上，有： (当直线中a=0或b=0时，上面结论也正确) ③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A为主动点,点C为从动点,由中点坐标公式有: ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:. ④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有: ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:. 圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施. 例1.已知椭圆C: ,试确定m的取值范围,使得对于直线:在椭圆C上存在不同的两点关于直线对称. 解:椭圆上存在两点A,B关于直线对称, 设直线AB为: (确保垂直). 设直线AB与椭圆有两个不同的交点. (确保存在) 即： AB两点的中点的横坐标为纵坐标为 则点在直线上,. (确保平分) 把上式代入(1)中,得： 变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率 （I）求椭圆E的方程； （II）求的角平分线所在直线的方程； （III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由. 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识. 解：（I）设椭圆E的方程为 将A（2，3）代入上式，得 ∴椭圆E的方程为 （II）解法1：由（I）知，所以 直线AF1的方程为： 直线AF2的方程为： 由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数. 设上任一点，则 若（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l的方程为： 解法2： （III）解法1： 假设存在这样的两个不同的点 由于M在l上，故 ① 又B，C在椭圆上，所以有 两式相减，得 即 将该式写为， 并将直线BC的斜率和线段BC的中点，表示代入该表达式中， 得 ② ①×2—②得，即BC的中点为点A，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B和C. 解法2： 假设存在， 则 得一元二次方程 则是该方程的两个根， 由韦达定理得 于是 ∴B，C的中点坐标为 又线段BC的中点在直线 即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点. 二 中点弦问题 例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为、 为的中点 　　 又、两点在椭圆上，则， 两式相减得 于是 即，故所求直线的方程为，即。 例2、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即 ，即 点的坐标为。 变式训练1、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即，即 ，即 由，得 点在椭圆内 它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 变式训练2、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为，则┅┅① 设弦端点、，弦的中点，则 ， ， 又， 两式相减得 即 ┅┅② 联立①②解得， 所求椭圆的方程是 变式训练3.（13年新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 （ ） （　　） A． B． C． D． 解析：设两点的坐标分别为，则有 两式相减得 又的中点坐标为，所以，代入上式得 ， 而直线的斜率为① 由右焦点F（3,0）知： ② 由① ②得 曲线E的方程为 故选D 三 弦长问题 例1.（10辽宁理）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与