点集拓扑讲义教案设计.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 点集拓扑学教案 为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。 按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。 本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下： 章节 本科生授课主要内容 课时数 备注 拓扑学的起源 1 一 朴素集合论 2 1.1 集合、映射与关系 1 1.2 无限集 1 二 拓扑空间与连续映射 21 习题课时 2 2.1 度量空间与连续映射 3 不讲附录 2.2 拓扑空间与连续映射 3 2.3 邻域与邻域系 2 不讲定理 2.3.3 2.4 导集、闭集、闭包内部、边界 3 不讲例 2.4.4, 定理 2.4.8 2.5 内部、边界 2 2.6 基与子基 2 部分证明定理2.6.3，临域基及相关内容在5.1中介绍 2.7 拓扑空间中的序列 2 三 子空间、有限积空间、商空间 6 习题课时1 3.1 子空间 2 3.2 积空间 2 3.3 商空间 1 例3.3.3起不讲 四 连通性 8 习题课时1 4.1 连通空间 2 4.2 连通性的某些简单应用 1 4.3 连通分支 1 4.4 局部连通空间 2 4.5 道路连通空间 1 道路连通分支不讲 五 有关可数性的公理 6 习题课时1 5.1 第一与第二可数性公理 2 5.2 可分空间 1.5 定理 5.2.1 不讲 5.3 Lindeloff空间 1.5 六 分离性公理 8 习题课时1.5 6.1 、Hausdorff 空间 2 6.2 正则、正规、 空间 1.5 例 6.2.2 讲部分 6.3 Urysohn 引理和 Tietze 扩张定理 1 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的证明 6.4 完全正则空间, Tychonoff 空间 1 6.5 分离性公理与子空间、积空间和商空间 1 6.6 可度量化空间 1 定理 6.6.1 讲部分 七 紧致性 10 习题课时1 7.1 紧致性 3 定理 7.1.6 讲部分 7.2 紧致性与分离性公理 1 引理 7.3.2 用分析中的结论 7.3 n 维欧氏空间 中的紧致子集 0.5 7.4 几种紧致性以及其间的关系 1.5 7.5 度量空间中的紧致性 1 7.6 局部紧致空间, 仿紧致空间 1 定理 7.6.8 不讲 第一章 朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z+, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一. 集合的运算 幂集 P, 交∩ 、并∪、差－(补, 余). 运算律: De Morgan 律: (1) . (2) A-(B∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 Ai. 规定 0 个集之并是, 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合 的一个关系, 即记为 , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系. 如, Δ(X)={(x, x )|xX}, 恒同关系, 它是等价关系; ，小于关系, 它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的. 设 R 是 X 上等价关系, ?, x 的 R 等价类或等价类或[x]为, 的元称为 的代表元; 商集 . 定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则 (1) ?; (2)，或者[x]R =[y]R , 或者 证(2). 设, 则, 于是且, 于是. 三. 映射 函数：. 像：； 原像： 满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制、扩张、内射 集合, 笛卡儿积到第个坐标集的投射 定义为, 其中. 对等价关系集合到商集的自然投射定义为 . 四. 集族 数列, 有标集族, 指标集 Γ, 与不同, 可记有标集族 A; 类似地, 定义其并 (或∪A)、交 (或∩ A), 不定义 0 个集的交. 与有限集族有相同的运 算律, 如 De Morg