概率论第一章.ppt

定义 设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有 例1:有三个子女的家庭,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A表示“至少有一个男孩”, H表示男孩，T表示女孩。 则 S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT} 古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法定理：设完成一件事需分两步：第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法. A B C 加法定理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 A B 重复排列(放回抽样)：从含有n个元素的集合中 随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列. 共有nk种排列方式. n n n n 无重复排列（不放回抽样）：从含有n个元素的集合中 随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素 排成一列. 共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式. 当 k=n 时，Ank=n!， 称为全排列。 n n-1 n-2 n-k+1 组合（不放回抽样）：从含有n个元素的集合中 随机抽取k个，共有 种取法. 例1:设盒中有4个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，分别在放回抽样与不放回抽样的情况下求 (1)取到两只白球的概率。 (2)取到两只同色球的概率。 (3)取到至少一只白球的概率。 取到一只白球，一只红球的概率？ (1) 摸球问题 (2) 分球入盒问题 例2：将3个球随机的放入4个盒子中去，每盒装球数目不限，问：每盒至多有一球的概率是多少？ 一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(n?m)，则每盒至多有一球的概率是： 有50人，问至少有两人生日 相同的概率有多大？ (3) 抽签问题 例3：袋中有 a 只白球，b 只红球，依次将球一只只摸出，不 放回，求第 k 次摸出白球的概率？ 解： 设想 a+b 只球进行编号，将 a+b 只球顺次排列在 a+b 个 位置上。 令 A=“第 k 次摸到白球” 则 N(S) = (a+b)! N(A) = Ca1 (a+b-1)! 所以 P(A) = a (a+b-1)!/(a+b)! = a/(a+b) (4) 分组问题 例4：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解: 设 A=“每组有一名运动员”; B=“ 3名运动员集中在一组”, 则： 一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法： (5) 随机取数问题 例5：从1，2，3，4，5诸数中，任取3个排成自左向右的次序， 求： （1） “所得三位数是偶数”的概率？ （2） “所得三位数不小于200”的概率？ 解： §5 条件概率与独立性(P14) 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，有十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？ 在已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A发生条件下B发生的条件概率，记作P(B|A) 一、条件概率 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。 解：设A——第一次取到红球, B——第二次取到红球 P(B|A)= 1 4 S= 显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点, AB含有nAB个样本点，则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p14) 一般地，设A、B是S中的两个事件， P(A) ≠0，则 P(B|A)= P(AB) P(A) (5.1) P(B|A)= nAB nA = n nA n = P(AB) P(A) nAB “条件概率”是“概率”吗？ 条件概率的性质:(P(A) ≠0) (1) P(B|A) ≥0 (2) P(S|A)=1 (3) 对一列两两互不相容的事件， A1, A2 ,··· , 有 P( A1 ? A2 ? ···|A )