椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理.doc

PAGE PAGE 13 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3. 所以椭圆的标准方程是eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求 解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝eq \r(52－1)＝eq \r(24).∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,24)＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； （2）当为短轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1.由点(－3,2)在椭圆上知eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为， 由，得， ∴，， ，∴， ∴为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： ∴，∴． 例2 已知椭圆的离心率，求的值． 解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得． 当椭圆的焦点在轴上时，，，得． 由，得，即． ∴满足条件的或． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。 解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) 2．已知椭圆的标准方程是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,25)＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长． 4a＝4eq \r(41). 3．设F1、F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积． △PF1F2的面积为eq \f(1,2)PF1·PF2＝eq \f(1,2)×2×4＝4. 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得 ． 由韦达定理得． ∵是弦中点，∴．故得． 所以所求直线方程为． 解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 ①－②得． ⑤ 将③、④代入⑤得，即直线的斜率为． 所求直线方程为． 八、椭圆中的最值问题 例 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标． 解：由已知：，．所以，右准线． 过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以． 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3），，时，所给方程没有轨迹． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点，且焦点在坐标轴上． （2），经过点（－5，2），焦点在轴上． （3）与双曲线有相同焦点，且经过点 解：（1）设双曲线方程为 ∵ 、两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线方程为 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情