数学物理方程福州大学江飞作业.pptxVIP

第二章 热传导方程 p.51:1. 3.§1 热传导方程及其定解问题的导出1. 一均匀细杆直径为 ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从于规律又假设杆的密度为 ，比热为 ，热传导系数为 ，试导出此时温度 满足的方程。解 引坐标系：以杆的对称轴为 轴，此时杆为温度 。记杆的截面面积 为 。 牛牛文库文档分享热传导定律由假设，在任意时刻 到 内流入截面坐标为 到一小段细杆的热量为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 到 在截面为 到 一小段中产生的热量为又在时刻 到 在截面为 到 这一小段内由于温度变化所需的热量为 牛牛文库文档分享由热量守恒原理得消去 ，再令 ， 得其中或 牛牛文库文档分享3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以 表示它在单位体积中所储的热量， 为初始时刻所储的热量，则 ，其中 为常数。又假设砼的比热为 ，密度为 ，热传导系数为 ，求它在浇后温度 满足的方程。解：可将水化热视为一热源。由 及,知单位体积放热速度为 。它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书48页，(1.7)式得 牛牛文库文档分享§2 初边值问题的分离变量法p.56:1. 4.1.用分离变量法求下列的定解问题解 设 代入方程及边值得求非零解 得对应 为 。 牛牛文库文档分享因此得由初始值得因此故解为 牛牛文库文档分享4.在区域 中求解如下的定解问题其中 均为常数， 为已知函数。解按提示，引 ，则 满足 牛牛文库文档分享由分离变量法满足方程及边值条件的解为再由初始值得故因此 牛牛文库文档分享§3 柯西问题p.62:2.5(1).8.2.证明当 在 内绝对可积时， 为连续函数。解且由控制收敛定理 牛牛文库文档分享5(2).用延拓法求解半有界直线上热传导方程（3.17）的柯西问题，假设解根据柯西问题的解的公式知，只需要开拓 ，使之对任何 值有意义即可。为此，将积分分为两个 与 ，再在第一个中用来替换 就得 牛牛文库文档分享由边界条件得要此式成立，只需即　 作奇开拓，由此得解公式为 牛牛文库文档分享8. 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式解：由7题，只需分别求出的解，然后再相乘迭加即得。由于所以 牛牛文库文档分享p.67:1.2.§4 极值原理，定解问题的解的唯一性和稳定性1. 证明方程 具有狄利克雷边界条件的初边值问题的唯一性与稳定性。证令 ，则满足 ，由极值原理（定理4.1）知即 牛牛文库文档分享（1）* 下证唯一性若 为初边值问题的两个解，则 满足由估计（1）得推出即解是唯一的！ 牛牛文库文档分享* 下证稳定性若 满足令 则因此如果 则因此在限时间内解关于初边值是稳定的！ 牛牛文库文档分享2. 利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程 的函数在界闭区域 上的最大值不会超过它在边界上的最大值。证明 反证法。以 表 在 上的最大值， 表 在的边界 上的最大值。若定理不成立，则 。因而，在 内部有一点 使作函数在 上 其中 为 的直径。 牛牛文库文档分享而故 也在 内一点 上取到其最大值，因而在该点处有：即 另一方面与 矛盾。所以故假设不成立，证毕！ 牛牛文库文档分享§5 解的渐近性态p.70:1.2.1. 证明下列热传导方程初边值问题的解当 时指数地衰减于零，其中 且由分离变量法满足方程及边值条件的古典解为（参考p.56:4题）解其中 牛牛文库文档分享（利用 的有界性）（1）注意到（2）成立结果， 牛牛文库文档分享2. 证明：当 为 上的有界连续函数，且时，二维热传导方程柯西问题的解，当 时，以衰减率趋于零。证明由p.63第9题知，二维热传导方程柯西问题的解为 牛牛文库文档分享