第四章微分方程模型.doc

PAGE 实用标准文案 PAGE 精彩文档 第四章 微分方程模型 当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由落下，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L，内含盐10kg,今以3 L/min的速度从一管放进净水，以2 L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。”这些问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。而本章要讨论的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。作出不同的假设，就得到不同的方程，所以事先是没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。 4.1 人口增长模型 人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示： 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 可以看出，世界人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等。 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。用微分方程来研究人口增长规律，基本上采用的是模拟近似的方法。即用某一微分方程来模拟人口的数量，分析该方程的解，将解与实际情况作对比，看其是否在一定程度上刻划了人口的实际增长情况，如刻划得较好（或在一段时期内吻合较好）就加以利用，否则就设法加以改进，直至在一定程度上满足我们的要求为止。 本节将介绍几个简单的人口增长模型，并利用下面表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），对模型作检验，最后用它预报2010年美国的人口。 年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 表1 美国人口统计数据 1、指数增长模型 最简单的人口增长模型是人所共知的：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则 （1） 显然，这个公式的基本条件是年增长率保持不变。 二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。 模型建立 记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数。为了利用微分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻（）的人口为。假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以。考虑到时间内人口的增量，显然有 令，得到满足微分方程 （2） 由这个方程很容易解出 （3） 时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 将以年为单位离散化，（3）式表明，人口以为公比的等比数列增长。因为这时表示年增长率，通常1,所以可用近似关系将（3）式写作 （4）（1）式与（4）式比较可知，我们常用的预报公式（1）就是指数增长模型