第二十二章模糊数学模型.doc

WORD格式可编辑 专业知识分享 第二十二章 模糊数学模型 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。这门学科经过多年的发展。它在现实世界中的应用越来越广泛。 §1 模糊数学基本知识 1.1 集合与特征函数 集合是现代数学的重要概念。一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。不含任何元素的集合称为空集，记为。 由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为。若集合，则将集合称为集合的补集，记为。集合及其性质可用所谓特征函数来描述。 定义1 设为全集，为的子集，则集合的特征函数指的是到集合的一个映射 其中对应规则满足 集合的特征函数具有以下性质： ，记作 ，记作 1.2 模糊集合 1.2.1 模糊集合的概念 对于普通集合及其余集，任何元素或，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是或有且仅有一个成立。然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由两个数扩展到闭区间，这就是建立模糊集合的基本思想。 下面我们把所讨论对象的全体称为论域。 定义2 给定论域，模糊集合指的是论域到区间的一个映射 对一切，唯一确定实数，使得；用这个数表示属于的程度；其中函数称为的隶属度。而对于元素，函数值称为元素关于的隶属度。 表示模糊集合，表示模糊集合。 由于模糊集合总是论域的子集，故也称为模糊子集。模糊子集通常记为。由于普通集合就是隶属函数值仅取0或1的特殊的模糊集合，为了方便起见，我们不加区别地采用大写字母等表示模糊集合，其隶属函数一律记作等。 例1 以年龄作为论域，取，模糊集合与分别表示概念“老年人”和“年轻人”，取隶属函数为 隶属函数和隶属度是模糊数学中的重要概念，隶属函数不是唯一的，例如关于“老年人”的隶属函数也可以取为 1.2.2 模糊集合的表示方法 设论域为，则模糊集合可表示为 其中“/”不表示除法运算，仅表示为元素，为的隶属度。 若论域为有限论域；即设，则还可以表示为 （1） 同样，加号与除号仅是一种记号，并不表示加、除运算。 （2） 称为向量表示法。一般地，当时，称为模糊向量。 1.2.3 模糊集合的运算 定义3 设论域为，的所有模糊集合作为元素构成的普通集合称为的模糊幂集，记为。 定义4 设论域为，和是的模糊集合，即，。如果对一切有，则称模糊集合包含，记为；如果对一切，有，则称与相等，记为。 定义5 设论域为，和是的模糊集合，即，。它们的隶属函数分别为和。与的并集是的模糊集合，记为，其隶属函数为 与的交集是的模糊集合，记为，其隶属函数为 的余集是的一个模糊集合，记为，其隶属函数为 其中，“”和“”是取“最大”与“最小”的意思。 定义6 设论域为，是的模糊集合，，且，令 则称为的一个截集，其中称为阈值或置信水平。 由定义知，的截集就是中所有对的隶属度大于或等于的全体元素组成的普通集合。 例2 设论域， 则，。 定义7 设论域为，为的模糊集合，，与的模糊截积记为，其隶属函数为。 特别地，当为普通集合时有 模糊截积具有以下性质：。 1.3 模糊矩阵 定义8 称为模糊矩阵，如果对一切，有。当仅取0或1时，为布尔矩阵。 定义9 设和为两模糊矩阵，如果对一切有，则称和相等，记为；如果对一切有，则称包含，记为。 定义10 设和为两模糊矩阵，则和的并定义为，与的交。 定义11 设为模糊矩阵，，令 则称布尔矩阵为的截矩阵，记为。 例如 则 定义12 模糊矩阵与的合成是一个行列的模糊矩阵，记为，其中，又称为与的模糊乘积。 例3 设模糊矩阵， 则 1.4 模糊关系及其合成运算 两个非空子集与的笛卡儿乘积定义为一个关系： ，的子集称为到的一个关系，记为。 当时，则称与有关系，记为，否则称与没有关系。类似地，我们有 定义13 设为两非空集合，以为论域的模糊集合确定到的一个模糊关系，记作，其中对任意，关于模糊集合的隶属度记为，它表示与关于模糊关系的相关程度，记为，特别地，当的值仅取0或1时，就是到的普通关系。所以普通关系是模糊关系的特殊情况，因