概率论第三章3-2.ppt

3.2.4 其它重要离散型随机变量 一、超几何分布 二、几何分布 例 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p．某人每次购买１张奖券，如果没有中奖下次再继续购买１张，直至中奖为止．求此人购买次数Ｘ的分布． 解： “Ｘ＝k”表示购买k次，前 　 次都未中奖，而第k 次中奖. 于是 定义: 若随机变量X的分布为 则称X服从参数为p 的几何分布. 几何分布给出了等待首次“成功”(发生事件A)等到第k次 的概率. 广东工业大学 3.2 重要的离散型随机变量 3.2.1 独立试验序列 3.2.2 二项分布 3.2.3 泊松定理与泊松分布 3.2.4 其他重要离散型随机变量 2、伯努利试验 只有两个可能结果A(称为成功)与 (称为失败)的试验 很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生感兴趣，因而也可将之归结为伯努利试验。 1、独立试验序列概型 在相同条件下重复进行试验的数学模型 伯努利试验 独立试验序列概型 3.2.1 独立试验序列 例1 明天的天气可以有多种情况，但若只关心明天是否下雨，则观察明天的天气（作为一次独立试验），其结果就只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是一个贝努利试验。 在实际应用上，经常要考察独立重复进行一伯努利试验的序列，并将这一独立重复的试验序列作为单独的一个复合试验来对待。这样的复合试验称为n 重伯努利试验。 每次试验中某事件A 或者发生或者不发生，假定每次试验的结果与其它各次试验结果无关(即每次试验中事件A发生的概率都是p )，这样的一系列（比如n 次）重复试验称为n 重伯努利试验。 3、n重伯努利试验 即n 次独立重复的伯努利试验称为n重伯努利试验. 例2 掷一枚硬币，其结果为A =“出现正面”或 “出现反面”。 重复掷10次 伯努利试验 10重伯努利试验 重复掷 k 次 k 重伯努利试验 例3 若学校的电话总机设有99个分机，已知每号分机平均每小时有3分钟要使用外线，在考虑该总机应设置多少条外线合适的问题时，可归结为n重贝努利试验的问题。 注：在同样的条件下，若作“不放回抽样”，即检验过的产品不放回而抽下一件检验，这样接连抽取 n 件的检验就不能视作为 n 重贝努利试验。但是，当总量N 很大时，抽出小数几件不致影响次品率，故而也可将不放回地接连抽取n 件（n 远小于 N ）的检验看成是 n 重贝努利试验。 3.2.2 二项分布 定理1 若贝努利试验中“成功”（即事件A）的概率为 ，则在n重贝努利试验中“成功” （即事件A出现）k次的概率为 证明：在n次独立重复的贝努利试验中，事件A在某特定的k次中发生，而在其余n-k次试验中不发生，可表示为 于是按独立事件乘法定理及已知 可算出其概率为 因为在n次试验中事件A发生k次可以有 种不同的方式， 而每种特定方式下的概率均为 ，故由加法定理可得 证毕。 这里用 表示第i 次试验发生A，用 表示第j 次发生 等。 若随机变量 的分布律为 则称随机变量 服从参数为 的二项分布， 记为 二项分布： 特别，称n =1的二项分布为两点分布，其分布列为 于是 解: 设A =“观察一个人对该接种疫苗试验的反应呈阳性” 于是 解: 设A =“观察一个人对该接种疫苗试验的反应呈阳性” （3）至少有2人反应为阳性 于是 于是 即 从而 定理2 可见 故 例 设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在一次试验中出现的概率? 例 设随机变量X 服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量 求 Y 服从参数为（3，p）的二项分布，若 3.2.3 泊松定理与泊松分布 泊松分布图形的特点 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性, 成为概率论中最重要的几个分布之一.在实际中， 许多随机现象服从或近似服从泊松分布. 泊松分布的背景及应用 　二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布. 地震 火山爆发 特大洪水 电话呼唤次数 交通事故次数