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高等数学(一)微 积 分
导数
微分学
微分
微积分
不定积分
积分学
定积分
无穷级数
第一章 函数及其特性
1.1 集合
一、定义:由具有共同特性的个体(元素)组成。
二、表达方式: 集合A,B,C……(大写字母)
元素a,b,c……(小写字母)
A={a,b,c}
元素的排列无重复,无顺序。
a属于A记作aA,1不属于A记作1A或1A
三、分类 有限集
无限集
空集Ф
四、集合的运算
1、子集:存在A、B两个集合,如果A中所有元素都在B中,则A叫做B的子集,AB或BA(空集是任何集合的子集)。
2、交集: 存在A、B两个集合,由既在A中又在B中的元素组成的集合。AB,ABA,ABB,ФB=Ф(空集与任何集合的交集是Ф)。
3、并集:存在A、B两个集合,由所有在A、B中的元素组成的集合。AB,ABA,ABB,ФB=B。
4、补集:存在A、B两个集合,且AB,由在B当中但不在A中的元素组成的集合,叫A的补集,B叫全集。记作AB或, ABA=Ф, AB A=B
五、数、数轴、区间、邻域
1、数 实数
虚数: 规定i2= -1,i叫虚数单位,
2、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间
(1)闭区间a≤x≤b,x[a, b]
(2)开区间a x b, x(a, b)
(3)半开区间 a≤x b, x[a, b)
a x≤b, x(a, b]
(4)无限区间 x≤a, x(-∞, a]
x≥b, x[ b, +∞)
xR, x(-∞, +∞)
x0 –δ x0 x0 +δ4、邻域:以x = x0为圆心,以δ 0(δ为非常小的正数)为半径作圆,与数轴相交于A、B两点,x0 -δ x0
x0 –δ x0 x0 +δ
例1 已知A={x -2≤x 3},B={x -1 x≤5},求AB, AB
o |
o | A . o B
-2 -1 0 3 5
所以AB={x -1 x 3}, AB={x -2≤x≤5}
例2 已知A、B为两非空集合,则AB=A是A=B的[ (2) ]
(1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件
注:如果A成立,那么B成立,即“AB”,那么条件A是B成立的充分条件;如要使B成立,必须有条件A,但只有A不一定能使B成立,则称A是B成立的必要条件;如果“AB”,又有“BA”,则称条件A是B成立的充分必要条件。
例3 已知集合M={0,1,2},则下列写法正确的是[ D ]
A、 {1}M B、 1 C、 1M D、{1}M
1.2 函数及其几何特性
一、定义:在一过程中,存在两个变量x、y,y是按照某一对应规则f随x的变化而变化,y就叫做关于x的函数(一元函数),表达式:y=f (x)
x叫自变量,定义域Df (x取值范围)
y叫因变量,值域DR (y取值范围)
二、求定义域
例1 求的定义域。
解:
例2 求的定义域
解:
例3 求的定义域
解:
注:真数等于1时,对数值等于0。
三、图象
四、几何特性
1、单调性。对于y=f(x), xDf, if y随x的增加而增加,则y=f(x)在Df内单调增。
y随x的增加而减少,则y=f(x)在Df内单调减。
2、有界性。对于y=f(x), xDf, 对于任一xDf,满足A≤f(x)≤B,则y=f(x)在Df内有界,A叫下界,B叫上界。
3、奇偶性。对于y=f(x), xDf, 且Df为对称区间, if f(-x)=f(x),则y=f(x)为偶函数。
f(-x)= -f(x),则y=f(x)为奇函数。
如两者均不符合,则y=f(x)为非奇非偶函数。
注:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称。
4、周期性。(三角函数的周期性)
对于y=f(x), xDf, if 存在T0,满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数,T叫最小正周期。
例1 讨论的奇偶性(xR)
解:
原函数是奇函数
例2 讨论的奇偶性(xR)。
解:
原函数是奇函数
1.3 五种基本的初等函数
一、幂函数
1、形如,a为常数。
2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a的取值而定。
如a取以下值:
Df
xR
x≠0
x≥0
xR
DR
y≥0
y0
y≥0
yR
几何特性
偶函数
偶函数
单调增
奇函数,单调增
3、运算法则
(a, b为正整数)
二、指数函数
1、形如且
2、xR,y0
3、当x=0时,y=1,则图象一定过点(0,1)
4、几何特性。单调性 0a1 单调减
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