高一数学对数函数复习.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 一、考点聚焦 一、对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，N叫做真数。 说明：（1）实质上，上述对数表达式，不过是指数函数的另一种表达形式，例如：与这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式 （2）“”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 （3）根据对数的定义，对数具有下列性质： ①零和负数没有对数，即； ②1的对数为零，即； ③底的对数等于1，即 2．对数的运算法则 （1）基本公式： ①，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和。 ②，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 ③，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数。 （2）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （3）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，不能写成= 3．换底公式 利用对数的换底公式，能够将一般对数式转化为自然对数或常用对数，为解决实际问题和数学计算带来方便。 （1）常用对数：对数在底数时，叫做常数对数，记作 求一个正实数的常用对数，可通过对数表或使用计算器求解。 （2）自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，通常记作 （3）自然对数与常用对数的关系： （4）要注意换底公式特点： 从左到右，将以为底的对数换成了以为底的对数，统一了底数，为计算带来了方便；从右至左，将分式化为整数，为化简带来了方便。 4．对数与指数式的关系及相互转换 利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题。 二、点击考点 ［考题1］求下列各式的 （1）；（2）； （3）；（4） ［解析］（1）由，得，即； （2）由，得，即，故； （3）由，得故； （4）由，得故 ［点评］对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。 ［考题2］求下列各式的值： （1）； （2）； （3） ［分析］利用对数的性质求解，首先要明确解题目目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算。 ［解析］（1）原式 （2）原式= == （3）∵ ∴原式 ［点评］对数的求值一般有两种方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。 ［考题3］已知求 ［解析］已知条件与所求对数的底是不相同的，因此考虑应用换底公式。 解法一：∵，∴ ∴ 解法二：∵，∴ ∴ 解法三：∵ ∴ ∴ ［点评］本题还有其他方法，这里，都是把指数式改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它相同底数的对数，以便利用已知条件和对数的性质求解。 ［考题4］（1）设，求的值. （2）已知均大于1，，求 ［分析］（1）首先将指数式化为对数式，再利用对数的性质进行计算。（2）观察已知条件，真数相同，底数不同，若将拆成、、，则问题获得解决，因此，要多次使用等式 ［解析］（1）∵ ∴ ∴， ∴ （2）由得 由得， 由得， 即 ∴， 解得 ∴ ［点评］（1）本题（1）通过将、的值用换底公式转化为同底数的对数，再利用对数的运算法则求值，此外，我们还可以用换底公式得到一个常用的关系式，常用来把分式转化为整式。 （2）对数的换底公式在解题中起着重要的转化作用，能够将不同底的问题转化为同底，从而使我们利用对数的运算性质解题的想法得以实现。 ［考题5］已知、、为正数，且，求的取值范围. ［解析］∵ ∴ ∴ ∵，∴上式关于的方程有实根。 ∴. ∴ ∴，或 ∴或 ［点评］对数知识又常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如此题与方程、不等式综合，这时首先要牢牢掌握对数的定义，注意其与指数式的转化；灵活运用运算法则就可使问题得到解决。 ［考题6］科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14，碳-14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳-14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳-14含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年。 （1）设生物体死亡时，体内每克组织的碳-14含量为l，试推算生物死亡年后体内每克组织中的碳-14含量P； （2）湖南长沙马王堆汉墓女尸体出土时碳-14的残余量约占原始