景区灭火的数学模型..docx

PAGE \* MERGEFORMAT- 1 - 西南交通大学峨眉校区2017年 全国大学生数学建模竞赛第二次预选赛试题 A题：景区灭火的数学模型 姓名 刘琦 王杨 学号 2015121507 2016117557 专业 交运城轨 电气工程 联系电话18295984767 QQ 270737813 1142581599 摘要 本文以景区防火问题为背景，在通过多种方式插值方法修补残缺等高线的基础上，结合等高线高程信息建立景区三维地形模型并巧妙求出其地表总面积，最后通过图论模型制定最优灭火路线，达到及时控制和消灭火情的目的。 问题一中，面对有5处需要修补的残缺等高线图，我们先根据各处残缺是否垂直于X轴的不同特点，通过人机交互分式将5处残缺线分离出来，并对原图进行去噪处理，进而将问题转换为一元插值问题。根据问题特点，我们选择了三次样条插值和三次多项式插值，并对二者插值结果进行比较，发现三次多项式插值效果更好，因此我们选择三次多项式插值结果作为最终修补结果。最后我们将分区域修补好的等高线与去噪后的等高线重叠并保存，便可得到修补完全的等高线图。 问题二中，我们在问题一得到完整等高线图的基础上，首先将8种高程信息不同的等高线从完整等高线种分离出来，并通过坐标变换，将地图上已知等高线的各点坐标转换为实际点坐标。这里考虑DTM（Digital Terrain Model）——数字地面模型，由于高程值的集合是已知的，每一条等高线对应一个已知的高程值，可以得出其等高线模型，再使用MATLAB工具箱对多种不同插值方法得到的三维图进行比较，最后通过立方插值和最近点插值的混合插值，得到了更多地表曲面的点再进行拟合处理，进而得到了较为理想的景区三维地形模型。 对于景区地表面积的求解，我们可以通过对景区地表曲面进行曲面积分进行求解，但这种方式需要景区地表曲面表达式，在多项式拟合效果不理想的情况下，我们采用了三角网模型（TIN），以直代取，巧妙合理而又不失准确性的求出了景区地表面积。 问题三我们将确定最优的灭火路线问题转换为求解景区地表曲面指定两点之间的最短曲线段问题。我们引入图论中赋权图的概念，将曲面上任意两点间曲线段的长度作为权值，赋给其对应投影所对应的网格的边，进而将求三维立体空间内最短曲线段的问题转换为求平面赋权图网络中指定顶点间具有最小权的路问题，采用迪克斯特拉（Dijkstra）算法，按距A点从近到远的顺序，依次求得A点到图中各顶点的最短路和距离，直至B点。但计算量是远超计算机所能承受的，为了减少计算机计算量，我们采用了逐步优化的方法，对512*512个网格，先以8个网格为边长，64个小网格为一个大网格，进行求解，进而对每个大网格的路线进行二次优化，以减少误差。首先利用Excel处理数据，通过C++编写程序，最后得到了平面赋权图中A点到B点具有最小权的路，并利用MATLAB将其对应的曲线在三维地表曲面中表示了出来。 关键词： 等高线 DTM 图论 Dijkstra算法 三角网 C++ MATLAB PAGE \* MERGEFORMAT- 11 - PAGE \* MERGEFORMAT- 2 - 一、问题提出 知识背景 随着时代和经济的发展，森林公园等自然景区逐渐成为了人们出游时一个不可或缺的选择，防火等安全问题也显得日益重要。本题基于景区防火的问题，要求在补全等高线的基础上建立其三维地形图，并且通过构建数学模型制定最优灭火路线，达到及时控制和消灭火情的目的。 需要解决的问题 现旅游管理部门想在景区发生火灾时能及时控制和消灭火情，请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题： 本题中给出的等高图存在局部破损，利用数学模型修补好该等高图。 在修补好等高图的基础上，通过数学模型构建出景区的三维地形图，同时计算其地表面积。 等高图中B点发生火灾，从固定的消防站A出发去灭火，通过建立模型确定最优的灭火路线。 附件：景区地形等高图 说明：1.该图水平及竖直方向以10m每像素为单位，山高以50m为单位。 2.实际图形见附件，为512×512像素。 二.基本假设 不考虑曲面坡度等其他因素对于救火员速度的影响，救火员在景区地表行走时速度恒定，即在空间内任意两点内救火员速度均保持不变。 2.救火员接收到报警电话后就立即出发，景区表面每一处均不会阻碍救火员行进。 3.计算面积时以50米海拔处为景区地平线。 符号说明 符号 意义 单位 备注 网格的x坐标 无 全局变量 网格的y坐标 无 全局变量 网格的z坐标 无 全局变量 S 景区地表总面积 全局变量 G 赋权图 无 全局变量 V 顶点集 无 全局变量 E 边的集合 无 全局变量 W 邻接矩阵 无 全局变量 到这条边是否在最