九年级数学锐角三角函数(学生讲义)..doc

PAGE \* MERGEFORMAT14 锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 要点诠释：　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．　　(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 　　　利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：　　(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：　 　　、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，；　　(2)平方关系：；　　(3)倒数关系：或；　　(4)商数关系：．　　要点诠释：　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.　　③边角之间的关系：　　　，，，　　　，，.　　④，h为斜边上的高.要点诠释：　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A， 一边一角 一直角边和一锐角 锐角、邻边(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，， 锐角、对边(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，， 要点诠释：　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 考点六、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模