第4章可测函数(习的题目).doc

实用标准文案 精彩文档 第四章 可测函数 习题4-1-P108 P108 1、证明上的两个简单函数的和与乘积都还是上的简单函数. 证明：设,,为上的两个简单函数, 那么,于是 , , 所以与都是上的简单函数. 2、证明当既是上又是上的非负可测函数时,也是上的非负可测函数. 证明：由条件知 ,,, 于是 所以也是上的非负可测函数. 3、设,是上的几乎处处有限的非负可测函数,证明对任意,都有闭集,使,而在上是有界的. 证明：显然,, 由于,有, 于是　,, 对于,闭集, 有, 显然在上, . 4、设是可测集合上的非负可测函数序列,证明：如果对任意,都有,则必有.又问这一命题的逆命题是否成立？ 证明：(1),,, , 即 , 因,有 ,, 即, 所以. (2)取非负,, 显然,当然,由于 ,有, 可见逆命题不成立. 5、设,在上非负可测,证明对任意,都是可测的,进而证明使的最多有可数多个. 证明：(1)由条件知,, ,则 . (2)由于时, ,记,于是 , 又因,则只能是有限集,否则必有可数 ,, 于是,所以. 6、设实函数,证明:,均有. 证明：,,显然,下面证明. , 因,, 这样对于,,, 均有,从而, 于是,那么. 由于, 所以. 7、设是上的单调递增实函数,试证明:. 证明：,记,,, 因递增,若,则, 若,则,所以. 8、证明中可测子集上的函数可测的充要条件是存在上的一串简单函数,使于. 证明： 非负简单函数列 简单函数列 ,即. 9、证明；当是,是中的可测函数,且在上几乎处处有意义时,是上的可测函数. 证明：由条件及上题知, 简单函数列, ,,,, 当然时,上两式也成立, 由P70.1.知都是简单函数, 因在上几乎处处有意义,有 , 所以是上的可测函数. 10、证明：如果是定义于中上的可测子集上的函数,则在上可测的充要条件是对中任意Borel集,都是的可测子集,如果还是连续的,则还是Borel集. 证明：已知,有　, ,　, 又已知中Borel集是由开集经过一系列取余集,作可数交,作可数并而得到的集合,因此本题只要对开集证明即可. (1), 对中任意开集, 对中任意Borel集,. (2)如果,, 对中任意Borel集,是Borel集. 11、设是上的可测函数,是上的连续函数,证明是上的可测函数. 证明：,因,若,有 由于 , 于是, 所以. 12、证明：如果函数是上的可微函数,则 , 都是上的可测函数. 证明：因可微当然连续, ,由上题知, 可测,因可微,有 , 所以,,都是上的可测函数. 习题4-2-P113 P113 1、举例说明Egoroff定理中的条件一般说来是不能取消的. Egoroff定理：设(1), ； (2),；(3),； 则,均,满足,,且在上一致收敛于. 解：取,,,, 显然,当然, 取,,虽然满足,, 但,记,由于 　 有　, 可见,必, 说明在上不一致收敛于. 2、设,,,,,证明,,且在每个上都一致收敛于. 证明：,,满足,,且 在上一致收敛于, ,取,,且 在上一致收敛于,由于 ,, 有　,即 . 3、设,,,,,证明 必有的子序列,.进而证明有非负实数序列而. 证明：(1)由条件及上题知,,, 且在每个上都一致收敛于,那么 ,,,均有, 记,由于,而 ,,,有 , 所以. (2)由(1),,取 　 有　 , 而 . 4、取消上题中的限制. 证明：若.令, 有,. (1)由上题,知 对有子列,, 假设有,, 对有子列,. 令,显然是的子列,当然有 ,, 于是 . (2)由上题知,, 有而, 记,,,, ,取 有　,即, 而,,有 , 所以 . 习题4-3-P117 P117 1、设是有限可测集, 在上几乎处处有限,则可测的充要条件是有一串在整个空间上连续的函数使. 证明：“充分性”由于连续当然可测,, 于是可测. “必要性” (1)若,,,可定义 ,且,, 假设有,且,, 那么, 且,. 取,当然有,. (2)若,,由P108.8.知 简单函数于. ,,, , , ,,, 由(1)知, ,,, , 有,由于,, 所以. 2、设是有界闭集,,则,. 证明：反证.假设在上无界,,, 由于有界,故, 而, 又,于是, 这与不符, 所以在上有界. 习题4-4-P123 P123 1、设,,, 证明. 证明：已知,,当,,时, , 由于,,,有 , 所以. 2、设,, 证明. 证明：,当,时, ,于是 ,, 有,因,有 所以. 3、举例说明时,定理1不成立. 定理1(Lebesgue定理)：设,, 且,则,. 解：取,,,, 显然,当然,由于 , 有,所以,不成立.