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第5章 两自由度系统的振动
应用单自由度系统的振动理论,可以解决机械振动中的一些问题。但是,工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度,即多自由度的系统,才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别,例如,有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
图5-1车辆模型如图5-1所示。平板代表车身,它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角? 来确定。这样,车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
图5-1车辆模型
5.1 双质量弹簧系统的自由振动
5.1.1 运动微分方程
图5-2两自由度的弹簧质量系统图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼,以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点,物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示,由牛顿第二定律得
图5-2两自由度的弹簧质量系统
(5-1)
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式
(5-2)
显然此时
但对不同的系统, 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2 固有频率和主振型
根据微分方程的理论,设方程(5-2)的解,即两自由度无阻尼自由振动系统的解为
(5-3)
或写成以下的矩阵形式
(5-4)
将式(5-4)代入式(5-2),可得代数齐次方程组
(5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零,即
展开后为
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率满足的条件,通常称为频率分程或特征方程。它是的二次代数方程,它的两个特征根为
(5-7)
由于式(5-7)确定的的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质,与运动的初始条件无关,因此称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率,较大的一个称为第二阶固有频率。
5.2.2 主振型
将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式,可得到对应于它们的振幅比
(5-8)
以上二式说明,虽然振幅的大小与振动的初始条件有关,但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时,振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值也同样是确定的,并且等于振幅比,即:
(5-9)
其它各点的位移则都可以由和所决定。这样在振动过程中,系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说,振幅比决定了整个系统的振动形态,因之称为主振型。与对应的振幅比称为第一阶主振型,与对应的振幅比称为第二阶主振型。
将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8),得
(5-10)
这表明,系统以频率振动时,质量m1与m2按同一方向运动;以频率振动时,总是按相反的方向运动。
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动,称为系统的主振动。第一阶主振动为
(5-11)
第二阶主振动为
(5-12)
可见系统作主振动时,各点同时经过平衡位置和最大偏离位置,以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出,并非任何情况下系统都可能作主振动。
根据微分方程理论,两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解,是它的两个主振动的线性组合,即
(5-13)
上式可以写成如下的矩阵形式,即
(5-14)
式中由运动的初始条件确定。所以一般情况下,系统的自由振动是两个不同频率的主振动的叠加,其结果不一定是简谐振动。
例5-1 试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1=k2=k3=k,物体的质量m1=m,m2=2m。
解:(1)建立运动微分方程式
分别以两物体的平衡位置为坐标原点,取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标,两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示,它们的运动微分方程分别为
图5-3两自由度系统
图5-3两自由度系统
若写成(5-2)的标准形式,则
所以
解出,。因此,系统的第一阶和第二阶固有频率为
图5-4振型图
图5-4振型图
(3)求主振型
将、分别代入式(5-26),得
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的;图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的,并且弹簧上的A点是不动的,这样的点称为节点。
例5-2 在图示5-3所示系统中,已知,求该系统对以下两组初始条件的响应:(1)t
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