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随机信号分析习题一
设函数,试证明是某个随机变量的分布函数。并求下列概率:,。
设的联合密度函数为
,
求。
设二维随机变量的联合密度函数为
求:(1)边沿密度,
(2)条件概率密度,
设离散型随机变量的可能取值为,取每个值的概率都为,又设随机变量。
(1)求的可能取值
(2)确定Y的分布。
(3)求。
设两个离散随机变量,的联合概率密度为:
试求:(1)与不相关时的所有值。
(2)与统计独立时所有值。
二维随机变量(,)满足:
为在[0,2]上均匀分布的随机变量,讨论,的独立性与相关性。
已知随机变量X的概率密度为,求的概率密度。
两个随机变量,,已知其联合概率密度为,求的概率密度?
设是零均值,单位方差的高斯随机变量,如图,求的概率密度
设随机变量和是另两个随机变量和的函数
设,是相互独立的高斯变量。求随机变量和的联合概率密度函数。
设随机变量和是另两个随机变量和的函数
已知,求联合概率密度函数。
设随机变量为均匀分布,其概率密度
(1)求的特征函数,。
(2)由,求。
用特征函数方法求两个数学期望为0,方差为1,互相独立的高斯随机变量和之和的概率密度。
证明若依均方收敛,即 ,则必依概率收敛于。
设和为两个二阶矩实随机变量序列,和为两个二阶矩实随机变量。若,,求证。
随机信号分析习题二
设正弦波随机过程为
其中为常数;为均匀分布在内的随机变量,即
试求时,的一维概率密度;
试求时,的一维概率密度。
若随机过程为
式中,为在区间上均匀分布的随机变量,求及。
设随机振幅信号为
其中为常数;是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
设随机相位信号
式中、皆为常数,为均匀分布在上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
设,,其中
,,,为实常数,,试求。
数学期望为、相关函数为的随机信号输入
微分电路,该电路输出随机信号。求的均值和相关函数。
设随机信号,其中是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的
随机信号。试求的均值、相关函数、协方差函数和方差。
利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程
设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。
求的一维分布函数和;
求的二维分布函数。
给定一个随机过程和任一实数,定义另一个随机过程
证明的均值函数和自相关函数分别为的一维和二维分布函数。
定义随机过程
,为正常数,设,且与相互独立,令,试求与。
考虑一维随机游动过程,,其中,,为一取值
和的随机变量,已知,,,,且,相互独立,试求:
;
和。
考虑随机过程,其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每
个样本函数都具有相同的形状,将时刻以后出现的第一个零值时刻记为,假设是一个均匀分布的随机变量
求的一维概率密度
t
t
T
T0
X(t)
A
将上题中的锯齿波过程作一点改动,使每个脉冲的幅度为服从麦克斯韦(Maxwell)分
布的随机变量
其中的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度之间统计独立,并均与统计独立,求的一维概率密度。
Y
Y(t)
t
T
T0
考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视
为一个随机过程
其中振幅、角频率和相位是相互独立的随机变量,并且已知:
求的一维概率密度。
随机信号分析习题三
1. 设有零均值的平稳过程,其相关函数为,令
求的方差函数和协方差函数。
2. 设是平稳过程,且,,求随机变量
的数学期望和方差。
3. 设随机过程
其中平稳过程和及随机变量三者相互独立,且,的相关函数为,的相关函数为,又,。
求的数学期望,方差和相关函数。
4. 设平稳过程,其相关函数为,且,是常数。证明:
(1)
(2)
5. 设,,其中是常数,是随机变量,具有概率密度函数
讨论的严平稳性。
6. 设是任意的随机变量,是与相互独立的,且在上服从均匀分布的随机变量,令,,是常数,证明是严平稳过程。
7. 设是一个零均值的平稳过程,而且不恒等于一个随机变量,令,。判断是否为平稳过程。
8. 设,,其中和是相互独立的随机变量,且,。
(1) 求的均值函数和相关函数;
(2) 证明是宽平稳过程,但不是严平稳过程。
9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程,其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状,将时刻以后出现的第一个零值时刻记为,假设是一个均匀分布的随机变量
判断平稳性。
t
t
T
T0
X(t)
A
10. (上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程
其中振幅、角频率和相位是相互独立的随机变量,并且已知
(1)求的
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