概率论习题课.ppt

Exercises 习题课 1. 期末考试采用半开卷的形式，时间是2个小时，要求学生只能带课本（第三版或四版），同时书里不能夹带有任何的纸张字条，除了课本以外的任何资料都不能带（不能在考试中使用），违反者视为作弊。 2.考试时间在1月3号，具体时间地点请学生关注研究生院通知。 例1：设A，B为相互独立，数字期望均为0、 方差均为1的随机变量，令X(t)=A+Bt， 求X(t)的均值、方差和相关函数。 解： 例2： 设g(t)为下图所示的以周期为L的矩形波， η的分布列为 η 1 -1 Pi 令X(t)=ηg(t)，t R1，求随机过程X(t)，t R1的均值、方差和相关函数。 解： 例3： 设 且在时间(t0,t0+t)内发生k次呼叫的概率与t0无关并且为 其中λ0，k=0，1，2，…。求： （1）P{在（0,t）呼叫次数为偶数}， （2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。 解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”} （2）显然 （3） 例4： 已知：随机过程x(t)的自相关函数Rx(t,s)= 其中a为常数，求： Y(t)=x(t+a)-x(t)的自相关函数。 解： 例5　已知随机过程X(t)的均值μx(t)=t，协方差函数Cx(s,t)=st，试求Y(t)=X(t)+sint的均值和方差函数。 3.2 泊松过程的性质 例8 设{Xn,n≥0}是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为 0 1 2 3/4 1/4 0 1/4 1/2 1/4 0 3/4 1/4 P= 0 1 2 初始分布Pi（0）=P{X0=i}=1/3, i=0,1,2. 试求: (i) P{X0=0, X2=1}; (ii) P{X2=1} 解 先求出二步转移概率矩阵 于是(i)P{X0= 0 ,X2=1}=P{X0=0 }p{X2=1| X0=0}; = p0(0) p01(2) = (ii)由(1.7)式， p1（2)=P{X2=1}= p0(0) P01 (2)+ P1 (0)P11 (2)+ P2(0) P21 (2) = 0 1 2 5/8 5/16 1/16 5/16 1/2 3/6 3/16 9/16 1/4 P(2)= P2 = 0 1 2 3/4 1/4 0 1/4 1/2 1/4 0 3/4 1/4 3/4 1/4 0 1/4 1/2 1/4 0 3/4 1/4 = 从0出发，经4步 首次回到0状态 例10 设 ，n=1，2，…是独立随机变量序列， 令 ，n=2，3，…。 证明： ，n=1，2，…是一个离散时间 马氏过程。 证明：由于 而 由（1）及（2）即证Y(t)具有马氏性。 （1）求 六、设 是一个齐次马尔可夫链，其状态空间 ，一步转移概率矩阵为 （2）求 （3）证明此链具有遍历性,并求其极限分布 解： （1） 由马尔科夫与齐次性，可得 （2） 因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵 故 。 (3) 由(2)可知，此马氏链是遍历的。 求解得 七、设随机过程x(t)=cos(λt+Φ)，其中Φ 证明：x(t)是宽平稳过程。 ，λ是常数。 证明： 则 为常数，RX(t,s)仅与τ=t-s有关， 因而X(t)是平稳过程。