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例3、求极限 二、请问 何值时下式成立 由上式可知：当 三、计算定积分 。 一、 型 【解】 作变换 ，则 ， 所以， 。 例4 设 求 解 例8 计算广义积分 解 瑕点 不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法. 　　由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理． 广义积分的审敛法 例２ 解 所给广义积分收敛． 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 旋转体体积 x y o 旋转体的体积为 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 功 水压力 引力 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等． 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 一阶线性微分方程 上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 （使用分离变量法） 解法 非齐次微分方程的通解为 （常数变易法） ５、二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 特征方程为 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 ５、高阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 四、求数列 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数 当x分别取 时的数列。 又 且令 ， 容易看出：当 时， 当 时， 。 所以， 有唯一极小值 。而 ，因此数列 的最小项 。 。 例 解 例 解 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 隐函数求导 例 解 解得 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 参数方程所确定的函数导数 由复合函数及反函数的求导法则得 例如, 罗尔定理 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 例4 证 分析: 结论可变形为 泰勒(Taylor)中值定理 麦克劳林(Maclaurin)公式 常用函数的麦克劳林公式 定义 定积分的定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 证明 利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 例 将和式极限： 表示成定积分. 原式 定积分中值定理 积分中值公式 解 由积分中值定理知有 使 证 可变上下限积分 证 证 令 例6 求 解 由图形可知 * 2015年海南大学数学竞赛 辅导 （非数学类） 数列极限的定义 例 证 例 证 函数极限定义： 另两种情形: 1、定义： 左极限 右极限 例 证 1.夹逼准则 极限存在准则和两个重要极限 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: (1) (2) 两个重要极限 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例 解 例 解 解 错 例1 例2 证 (舍去) 【解】 上连续，故 因 在 存在，且 ， 所以， 【解】 因此要想极限存在，分子必 时使用洛必达法则得到 c b a , , 注意到左边得极限中，无论 为何值 总有分母趋于零， ，当 须为无穷小量，于是可知必有 时，若 ，则此极限 ，则 存在，且其值为0；若 综上所述，得到如下结论： 或 。 定义: 最大最小值定理 定理 (最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定义: 介值定理 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间