八年级数学下册1.3.1线段垂直平分线新版北师大版.ppt

* 回顾 思考 等腰三角形顶角平分线有哪些性质？ 垂直底边，并且平分底边 AD所在的直线即线段AB的垂直平分线 垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 回顾 思考 线段的垂直平分线具有怎样的性质？ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 验证 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直的定义） 在△PCA和△PCB中， ∵ AC=BC， （已知） PC=PC, （公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 性质定理:线段垂直平分线上的点 到这条线段 的两端点的距离相等 A B P ∟ 温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？ 你能写出上面这个定理的逆命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。 性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。 验证 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB。 求证：P点在AB的垂直平分线上。 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC, ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)。 ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上。 B P A C 性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证法二： 取AB的中点C，过点P,C作直线PC ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC（SSS）． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上． B P A C 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证法三： 过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180 ° ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． B P A C “证法四” 证明：过P作线段AB的垂直平分线PC． ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90° ∴P在AB的垂直平分线上． 温馨提示:在证明的过程中所添加的辅助线只能直接满足一个条件 ，否则证明不成立。 ( × ) A C B P M N ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 判定定理 ：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. ： 例1 已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC。． 证法一： 证明：设AO交BC于点D， 在△ABO和△ACO中， ∵ AB = AC，OB = OC，AO = AO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)． ∴∠BAO=∠CAO(全等三角形的对应角相等)． 在△ABD和△ACD中， ∵ AB = AC，∠BAO=∠CAO，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴BD=CD(全等三角形的对应边相等)． ∠BDA=∠CDA(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠BDA+∠CDA=180° ∴∠BDA=∠CDA=90° ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（垂直平分线的定义） 证法二 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 1、线段垂直平分线的判定定理有 何作用？ 2、线段的垂直平分线可以看成是