线性规划基本定理.pptVIP

3.线性规划的基本定理 1标准形式及图解法 1.1标准形式 3.线性规划的基本性质 矩阵表示 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 则有 3.线性规划的基本性质 若某变量xj无非负限制，则引入xj = xj - xj ， xj , xj ?0 若有上下界限制，比如xj ?lj, 令xj = xj - lj, , 有 xj ?0 3.线性规划的基本性质 1.2. 图解法 当自变量个数少于3时，我们可以用较简便的 方法求解。 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 2 基本性质 2.1 线性规划的可行域 3.线性规划的基本性质 考察线性规划的标准形式(3. 2) 3.线性规划的基本性质 把x的表达式代入(3. 2),得等价的线性规划: 3.线性规划的基本性质 于是,问题简化成 3.线性规划的基本性质 在(3.6)中令 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 2,若(3. 2)存在有限最优解,则目标数的最优值 可在某极点达到. 3.线性规划的基本性质 3最优基本可行解 3.线性规划的基本性质 于是,Ax=b可写为 3.线性规划的基本性质 称为方程组Ax=b的一个基本解. 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 容易知道,基矩阵的个数是有限的,因此基本解从而基本可行解的个数也是有限的, 不超过 3.线性规划的基本性质 定理3. 3 令K={x| Ax=b,x?0},A是m×n矩阵,r(A)=m 则K的极点集与Ax=b,x?0的基本可行解集合等价. 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 3.线性规划的基本性质 即 3.线性规划的基本性质 总结,线性规划存在最优解,目标函数的最优值 一定能在某极点上达到.可行域K={x| Ax=b,x?0}的极点就是其基本可行解. 从而,求线性规划的最优解,只需要求出最优基本 可行解即可. 3.线性规划的基本性质 3. 4 基本可行解的存在问题 3.线性规划的基本性质 否则,我们通过如下步骤构造出一基本可行解 3.线性规划的基本性质 * 其中A是m?n矩阵，c是n维行向量， b是m维列向量。 评注：为计算需要，一般假设b?0.否则，可在方程两端乘以(-1)即可化为非负。 任意非标准形式均可划为标准形式，如 引入松弛变量xn+1， xn+2 ,… xn+m. Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y ? 40 3x + 2y ? 50 x, y ? 0. 例如，考虑食谱问题 30 10 40 20 50 10 20 30 40 50 y x 0 3x +2.5y 2x+4y?40 3x+2y?50 (15, 2.5) 可行区域的极点： (0, 25) (15, 2.5) 最优解 (20, 0) 定理 3.1 线性规划的可行域是凸集. 2.2 最优极点 观察上例，最优解在极点(15,2.5)达到，我们 现在来证明这一事实:线性规划若存在最优解, 则最优解一定可在某极点上达到. 根据表示定理，任意可行点x可表示为 显然,当 时目标函数取极小值. (p) x 因此极点 是问题(3.2)的最优解. 即(3.5)和(3.8)是(3.4)的最优解,此时 定理3.2 设线性规划(3.2)的可行域非空,则 1,(3. 2)存在最优解的充要条件是所有 (j) cd 非负,其中 是可行域的极方向 d (j) 前面讨论知道们最优解可在极点达到，而极点 是一几何概念，下面从代数的角度来考虑。 不失一般性,设rank(A)=m,A=[B,N],B是m阶可逆的. 于是 特别的令 N x =0,则 定义3.1 B称为基矩阵, 的各分量称为基变量. x B 基变量的全体 称为一组基. 的各分量称为基变量. x N 为约束条件Ax=b,x?0的一个基本可行解. B称为 可行基矩阵 称为一组可行基. B b0,称基本可行解是非退化的,若 -1 若 B b?0, -1 且至少有一个分量为0,称基本可行解是退化的. 证明: (提纲) 1)设x是K的极点,则x是Ax=b,x?0的基本可行解. 2)设x是Ax=b,x?0的基本可行解,则x是K的极点. 1),先证极点x的正分量所对应的A的列线性无关. 2)设x是Ax=b,x?0的基本可行解,记 定理3. 4 若Ax=b,x?0有可行解,则一定存在基本可 行解,其中A是秩为m的m?n矩阵. *