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第五章 二元流体运动学基础 Chapter Five Dynamics Basis of Two-dimensional Fluid 第一节 微元流团运动分析 Section One Movement Analysis of Fluid Differential Element 一、流体微团运动的基本形式 (二维情况) 流体微团运动的基本形式有四种，即平移、转动、线变形和角变形。 1. 平移 (1) 含义:流体团整体从一处平行移动至另一处。 (2) 表示:用平移速度(u, v)表示。 2. 转动 (1) 含义:流体团绕某一转轴转动，同时伴有流团形状的改变(若取矩形流体团，转动后可按菱形考虑)。 (2) 表示:用旋转角速度表示。 A.定义：流体团中取正交的两条流体线，单位时间内绕某一转轴(如z轴)转动时，其旋转角度(旋转具有方向性)的平均值称为旋转角速度。  B. 表示： 3. 线变形 (1) 含义:流体团中的流体线伸长或缩短。 (2) 表示:用线变形速度、表示。 A. 定义：单位时间流体团中流体线的相对伸长或缩短量。 B. 表示： 4. 角变形 (1) 含义: 绕某一转轴流体团形状发生改变(若取矩形流体团，转动后可按菱形考虑)。 (2) 表示:用角变形速度表示。 A.定义：流体团中取正交的两条流体线，单位时间内绕某一转轴(如z轴)时，其所夹直角变化量的平均值称为角变形速度。 B. 表示： 二、海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理 1. 定理实质:主要研究流体微团内部相邻两流点间的速度关系，说明流体微团运动的基本形式有平移、转动、线变形与角变形四种。 2. 定理内容： 将上式微元速度、及展开，并组合成旋转角速度、线变形速度及角变形速度的形式，则 上式即为海姆霍兹速度分解定理。 3. 意义： (1) 将旋转运动从一般运动中分离出来，使流体运动可以划分两大类：有旋运动与无旋运动。 (2)　将变形运动从一般运动中分离出来，使问题研究更为广泛，如由角变形速度可进一步得出广义牛顿内摩擦定律(速度梯度的实质可理解为角变形速度)。 ［注意］ 海姆霍兹速度分解定理只适用于微元流团内部，是个局部定理，不同于《工程力学》中刚体的速度分解定理。 第二节 有旋运动的基本概念 Section Two Basic Concepts of Vortex Movement 一、区分有旋运动与无旋运动 1.定义：流动中流体微团的旋转角速度为零或可以忽略不计，称此流动为无旋运动，否则为有旋运动。 2.区分有旋运动和无旋运动的判据：旋转角速度，即为无旋运动，而则为有旋运动。 ［注意］ (1)不能只看外观表象，必须通过判据，即旋转解速度来区分有旋与无旋。如剪切流u=ay ，v=w=0，由判据可得，因此剪切流是有旋运动；点涡流，，由判据可得，因此点涡流是无旋运动。若从表象看则结果正好与上述相反。 (2)有旋运动在工程中常见。可以认为无旋运动是有旋运动退化的结果。 (3)流体应指明某点或某区域有旋或无旋，具有局部性质，区别于刚体的整体性质。 二、有旋运动的基本概念 1.旋涡现象： 2.有旋运动与无旋运动相对应的概念(可以对照理解有旋运动的相关概念) (1)涡量场与涡量(即角速度场与旋转角速度)　　速度场与线速度； (2)涡线　　流线：涡线是指涡量场(角速度场)中的瞬时光滑曲线，该曲线上任一点的切点方向与该点的涡量(或旋转角速度)的方向相重合。 (3)涡管、涡束与微元涡管、微元涡束　　流管、流束与微元流管、微元流束：涡管是指涡量场中取一封闭曲线(其本身不是涡线，且不能两次通过同一条涡线)，该曲线上每一点所在的涡线所构成的管状表面。涡束是指涡管中的涡线簇。 (4)涡通量Ｉ　　体积流量qv：，其中角标“n”表示面积的法方向。 3.速度环量： (1) 定义：流场中取一封闭曲线l，流速沿该曲线的线积分称为速度环量，即 (2) 说明： A.有旋运动场，其流动空间既是速度场，又是涡量场或旋转角速度场。 B.实验观测到：有旋运动中，流体围绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转角速度越快，旋转的范围越大。因此，涡通量与环绕核心的流体线速度有密切关系，于是引入速度环量这一概念。 C.考察速度环量的方向时，认为被封闭曲线所围绕的面积正法线方向与绕行正方向遵循右手定则。 三、有旋运动的基本定理 1.斯托克斯(Stokes)定理 (1)内容：沿封闭曲线l的速度环量等于通过该曲线所围曲面面积A的涡通量，即 (2)意义： A.涡通量与速度环量都可以表征流体的有旋性，但涡通量不能直接测得，而用速度环量则较容量。 B.若，则曲线l所围