2018年考研数学一试题答案.doc

WORD资料.可编辑 专业技术.整理分享 2017考研数学一答案及解析 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数在连续，则（　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由连续的定义可得，而 ，，因此可得，故选择A。 （2）设函数可导，且，则（　）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则有，故单调递增，则，即，即，故选择C。 （3）函数在点处沿向量的方向导数为（　）。 A.12 B.6 C.4 D.2 【答案】D 【解析】，因此代入可得，则有。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（　）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从0到时刻，甲乙的位移分别为与，由定积分的几何意义可知，，因此可知。 （5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（　）。 A. 不可逆 B. 不可逆 C. 不可逆 D. 不可逆 【答案】A 【解析】因为的特征值为0（n-1重）和1，所以的特征值为1（n-1重）和0，故不可逆。 （6）已知矩阵，则（　）。 A.A与C相似，B与C相似 B. A与C相似，B与C不相似 C. A与C不相似，B与C相似 D. A与C不相似，B与C不相似 【答案】B 【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。 （7）设A，B为随机事件，若，且的充分必要条件是（　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由得，即，因此选择A。 （8）设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（　）。 A. 服从分布 B. 服从分布 C. 服从分布 D. 服从分布 【答案】B 【解析】，故，，因此，故，故B错误，由可得，，，则有，因此。 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数，则=_________。 【答案】0 【解析】，因此 ，代入可得。 （10）微分方程的通解为=_________。 【答案】 【解析】由，所以，因此，因此通解为：。 （11）若曲线积分在区域内与路径无关，则=_________。 【答案】－1 【解析】设，因此可得： ，根据，因此可得。 （12）幂级数在区间内的和函数=_________。 【答案】 【解析】。 （13）设矩阵，为线性无关的3维向量，则向量组的秩为_________。 【答案】2 【解析】因为，而 ，因此，所以向量组的秩2。 （14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则=_________。 【答案】2 【解析】 因此可得。 三、解答题： 15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 设函数具有2阶连续偏导数，，求。 【答案】， 【解析】因为，所以，因此 因此得： （16）（本题满分10分） 求 【答案】 【解析】由定积分的定义可知， ，然后计算定积分， （17）（本题满分10分） 已知函数由方程确定，求的极值。 【答案】极大值为，极小值为。 【解析】对关于求导得：， 令得，因此，当时，，当时，。 对关于再次求导得：，将代入可得 当时，时，代入可得，当时，时，代入可得，因此有函数的极大值为，极小值为。 （18）（本题满分10分） 设函数在区间上具有2阶导数，且，，证明： （Ⅰ）方程在区间内至少存在一个实根； （Ⅱ）方程在区间内至少存在两个不同实根。 【答案】 （Ⅰ）证：因为，由极限的局部保号性知，存在，使得，而，由零点存在定理可知，存在，使得。 （Ⅱ）构造函数，因此， 因为，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。 【解析】略 （19）（本题满分10分） 设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的弧度为，记圆锥与柱面的交线为， （Ⅰ）求在平面上的投影曲线的方程； （Ⅱ）求的质量。 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）64。 【解析】（Ⅰ）的方程为，投影到平面上为 （Ⅱ）， 因此有。 （20）（本题满分11分）