旋转几何证明.docVIP

巧用旋转解题 温州市实验中学 周利明 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。 1．利用旋转求角度的大小 例1：在等腰直角△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, P是△ABC内一点,满足PA=、PB=2、PC=1求∠BPC的度数. PA P A B C P’ 长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为AC=BC，这就给我们利用旋转 创造了条件，因此可以考虑将绕点C逆时针旋转， 得,连接，通过三角形的边与角的关系分别求得和，就可得到的大小。 解：由已知AC=BC，将绕点C逆时针旋转，得,连接； 由旋转可知：，，； ∴， ∴是等腰直角三角形 ， ∴且， 在中，∵， ∴是直角三角形，且， ∴． 例2：如图所示,正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点,的周长为2，求的大小． 分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC,所以可以考虑将绕点C顺时针旋转90°，易证E、D、Q三点共线，通过证明和全等即可求得的大小． ABDCQ A B D C Q E P ∴ 将绕点C顺时针旋转90°得； ∴ ，，， ； ∴ ， 且 ， ∴ E、D、Q三点共线， ∵ 的周长为2，即， 又 ∵， ∴ ， 在和中：，∴ ； ∴． ADCB A D C B P 2．利用旋转求线段的长度 例3：如图，P是等边△ABC内一点，PA=2，，PC=4，求BC的长。 PACE P A C E B 方法，就可以是问题简单化；因为本题的△ABC是等边三 角形，所以其三边是相等的，因此联想到将△ABC内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的； 解：∵ △ABC是等边三角形， ∴ 将△BPA绕点B逆时针旋转60°，则BA与BC重合， ∴ 且 BP=BE，PA=EC，连接EP； ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ∵ 在中：； ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 例4：如图，在梯形ABCD中，AD//BC（BCAD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。求CE的长度。 AD A D B C G F E 直接求得CE的长度，还需要做一些变化，经观察 容易发现把把△BCE绕点B顺时针旋转90°， 可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出 边之间的关系。 解：把△BCE绕点B顺时针旋转90°得，连接，易证A、G、F三点一线，且易知四边形BCDG为正方形． 由旋转可得：，， ∵ ， ∴ ∴ 在和中：， ∴ 在， ∴， 设 ，则，， ； 在，，即； ∴ ， 解之得： ∴ CE的长为4或6． 练习2：如图四边形ABCD中，AB=AD，∠A=∠C=90°，其面积为16，求A到BC的距离． 3．利用旋转探求线段之间的关系 例5：如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：． 分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用 AB A B D C E 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中， 由于AD=DC，所以可以考虑将绕点D顺时针方向旋转60°， 使AD和DC重合，这样就可以得到，然后通过证明 是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系． 解：将绕点D顺时针方向旋转60°，使AD和DC重合，得并连接， 由旋转可得：，，； ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ∴ ，∴ 中：， ∴ ． 例6：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，求证： ． 分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直角三角形中，再由AB=AC, ABEDCF我们不难想到将 A B E D C F 这样我们就将、放到了同一个三角形中， 同时我们也不难证明，然后我们只要设法证明，则结论可得． 解：∵ AB=AC，将绕点A延顺时针方向旋转90°得，连接， 由旋转可得：，，，； ∵ ， ∴ ， 在和中：，∴ ； ∴ ， ∵ ∴ 是， ∴ ． 练习3：如图①、②、③，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120o的等腰三角形，以D为顶点作一个60o角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． 探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．　 4．利用旋转求面积的大小 GBDCADBEF例7： 如图正方形ABCD中，，点E、F分别在BC、CD上，且