高三二轮复习之导数几何意义及其利用导数研究函数基本性质李.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 18 中国领先的中小学教育品 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T(同步知识主题) C （专题方法主题） T （学法与能力主题） 授课日期及时段 导数的几何意义及其利用导数研究函数的简单几何性质 教学内容 一、同步知识梳理 1. 导数的概念 设函数在及其近旁有定义，用表示的改变量，于是对应的函数值改变量为，如果极限存在极限，则称函数在点处可导，此极限值叫函数在点处的导数，记作或 称为函数在到之间的平均变化率，函数在点处的导数即平均变化率当时的极限值。 2. 导数的几何意义 函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率，即，其中是过的切线的倾斜角，过点的切线方程为： 基础回顾与巩固： 1. 已知曲线C：及点，则过点P可向C引切线条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 与直线平行的曲线的切线方程是（ ） A. B. C. D. 或 3. 某物体运动规律是，则在 时的瞬时速度为0。 4. 平行于直线且与曲线相切的直线方程是 。 二、同步题型分析 类型一 导数及其导数的几何意义 解题基本技巧和方法 (1)切点在曲线上. (2)切点在切线上. (3)切点处的导数值等于切线的斜率. (4)切点不定时候一般假设切点的坐标. 例题一: 已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点. (1) 若点的坐标为, 求证：; (2) 若函数的图象不通过坐标原点, 证明直线与函数的图象上点处切线垂直. 证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点， ∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值 ∴ F(a)=0， 即 2a+2f (a)f (a)=0 (2) 线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f (a) 由(1)知f (a)f (a) = – a， ∴图象不过原点，∴a ? 0，∴f (a) = –1 ∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直. 例题二: 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 例题三:已知函数 (1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则； (2) 若[0，1]，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。 解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得 （2）当[0，1]时，，即对任意的[0，1]，，即在[0，1]成立，由于，则必需满足或或，解得 方法总结：导数的几何意义解题的方法总结： (1)注意把握点是不是切点的时候要区分过某点还是在某点的切线. (2)一般涉及到直线与曲线相切的问题先看曲线是不是函数的图像.例如开口向上下的抛物线就可以利用导数. (3)一定要注意切点的临界性. 三、针对练习 1. 已知，满足，，，则 ， ， 。 2. 曲线在点处的切线与轴，轴的交点分别是 与 。 3．如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（） （Ⅰ）试求与的关系（） （Ⅱ）求 【解析】：（Ⅰ）设 ，由 得 点处切线方程为 ，由得（） （Ⅱ）由， ，得所以 ， 于是 一、专题精讲 1.借助导数确定超越函数的单调性和单调区间。 (1)导数值大于等于零则对应的解集就是函数的单调增区间。 （2）导数值小于等于零则对应的解集就是函数的单调减区间。 （3）注意导数等于零的时候对函数图像的影响。