各种圆定理总结.doc

WORD格式编辑整理 专业资料分享 费尔巴赫定理 费尔巴赫定理?三角形的 HYPERLINK /view/26234.htm \t _blank 九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。 此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。 费尔巴赫定理的证明 在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c. 易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; 在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; 在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r). ∵九点圆心在线段HO的中点, ∴在△HIO中，由中线公式可求得. 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2. 又△ABC的九点圆半径为R/2, 所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ. 因此 三角形的九点圆与内切圆内切。 在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; 在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra). 在△HIaO中，由中线公式可求得. 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2 故IaQ=(R+2ra)/2. 九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为 d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ. 故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。 因此 三角形的九点圆与旁切圆外切 托勒密定理 定理图 定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 　　 定理的提出 　　一般几何教科书中的“ HYPERLINK /view/24118.htm \t _blank 托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 证明 　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 　　因为△ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 　　而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 　　所以△ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因为BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 　　所以命题得证 　　复数证明 　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 HYPERLINK /view/10078.htm \t _blank 复数 HYPERLINK /view/139771.htm \t _blank 恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，两边取 HYPERLINK /view/324132.htm \t _blank 模，运用 HYPERLINK /view/934485.htm \t _blank 三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一 HYPERLINK /view/425685.htm \t _blank 平面。 平面上，